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Calcul des structures par éléments ﬁnis Antoine Legay Cnam-Paris 2014 Table des

Calcul des structures par éléments ﬁnis Antoine Legay Cnam-Paris 2014 Table des matières I Introduction • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 I.1 Outil d’aide au dimensionnement 1 I.2 Du réel au modèle mathématique mécanique 2 I.2.1 Problème réel 2 I.2.2 Modéle mathématique mécanique 2 I.3 Espace vectoriel associé au modèle mathématique mécanique 3 I.3.1 Ensemble des champs de déplacements 3 I.3.2 Espace vectoriel des champs de déplacements 4 I.3.3 Déﬁnitions et propriétés d’un espace vectoriel 5 I.4 Vers le modèle éléments ﬁnis 7 I.5 Les sources d’erreurs 7 I.5.1 Erreur entre le problème réel et le modèle mathématique 7 I.5.2 Erreur entre le modèle mathématique et le modèle éléments ﬁnis 8 I.6 Suite du cours 8 II Problème de référence • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 9 II.1 Rappel de mécanique des milieux continus 9 II.2 Champ de déplacement cinématiquement admissible 11 II.2.1 Espace vectoriel des champs de déplacements 11 II.2.2 Espace des champs de déplacements cinématiquement admissibles 11 II.3 Champ de contrainte statiquement admissible 11 II.3.1 Espace vectoriel des champs de contraintes 11 II.3.2 Espace des champs de contraintes statiquement admissibles 13 II.4 Écriture du problème de référence 14 ii III Écriture variationnelle • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 15 III.1 Écriture variationnelle de l’ensemble des champs de contraintes admissibles 15 III.2 Formulation variationnelle en déplacement 18 III.2.1 Loi de comportement en notations de Voigt 18 III.2.2 Opérateur gradient symétrisé en notations de Voigt 18 III.2.3 Formulation variationnelle en déplacement, écriture en notations de Voigt 19 III.3 Équivalence énergétique 20 III.4 Formes bilinéaire et linéaire, norme en énergie 21 III.4.1 Forme bilinéaire 21 III.4.2 Forme linéaire 22 III.4.3 Écriture du problème de référence 22 III.4.4 Norme en énergie 22 IV Espace d’approximation E.F. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 23 IV .1 Introduction 23 IV .2 Fonction à une variable 23 IV .3 Fonction à deux variables 26 IV .4 Fonction vectorielle à deux variables 29 IV .5 Fonction à trois variables 29 IV .6 Fonction vectorielle à trois variables 31 V Construction de la base E.F. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 33 V .1 Construction des fonctions de forme dans un élément 33 V .1.1 Introduction 33 V .1.2 Fonctions de forme dans un élément unidimensionnel 33 V .1.3 Fonctions de forme dans un élément du plan 35 V .1.4 Fonctions de forme dans un élément tridimensionnel 38 V .2 Table de connectivité et coordonnées des nœuds 39 VI Problème discrétisé • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 41 VI.1 Déﬁnition de l’erreur de discrétisation 41 VI.2 Écriture du problème discrétisé 41 VI.2.1 Rappel des différents espaces introduits 41 VI.2.2 Solution en déplacement 42 VI.2.3 Ecriture matricielle du problème discrétisé 43 VI.3 Résolution du problème discrétisé 44 VI.3.1 Séparation des équations 44 VI.3.2 Résolution en déplacements 45 VI.3.3 Réactions aux appuis 45 VI.3.4 Système matriciel complet 46 VI.3.5 Blocage des mouvements de solides rigides 46 VI.4 Construction du problème discrétisé 47 VI.4.1 Calcul de la matrice de rigidité 47 VI.4.2 Calcul des forces aux nœuds 49 iii VII Calculs au niveau élémentaire • • • • • • • • • • • • • • • • • • 51 VII.1 Élément de référence 51 VII.1.1 Nécessité d’un élément de référence 51 VII.1.2 Géométrie de l’élément de référence 52 VII.1.3 Fonctions de forme un élément de référence à 2 variables 52 VII.1.4 Passage de l’élément de référence à l’élément physique 56 VII.2 Matrice de rigidité dans l’élément de référence 57 VII.2.1 Expression 57 VII.2.2 Cas du quadrangle 58 VIII Intégration numérique• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 61 VIII.1 Intégration numérique de la matrice de rigidité 61 VIII.2 Intégration des fonctions à une variable 62 VIII.2.1 Polynômes de Lagrange 62 VIII.2.2 Méthode de Newton-Côtes 64 VIII.2.3 Méthode de Gauss 65 VIII.3 Intégration des fonctions à deux variables 66 VIII.3.1 Cas des éléments quadrangles 66 VIII.3.2 Cas des éléments triangles 68 VIII.4 Intégration des fonctions à trois variables 69 VIII.4.1 Cas des éléments héxaèdres 69 VIII.4.2 Cas des éléments tétraèdres 70 VIII.5 Critères de qualité du maillage 70 IX Analyse des résultats E.F. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 73 IX.1 Post-traitement, lissage des contraintes 73 IX.1.1 Propriétés de la solution éléments ﬁnis 73 IX.1.2 Contrainte lissée 73 IX.1.3 Implémentation et résolution 75 IX.1.4 Application au triangle à 3 nœuds 76 IX.2 Estimateur d’erreur 77 IX.2.1 Rappel sur l’erreur en déplacement 77 IX.2.2 Estimateur à priori 77 IX.2.3 Estimateur à posteriori 78 IX.2.4 Maillage adaptatif 80 X Éléments ﬁnis de barre et poutre • • • • • • • • • • • • • • • • • 81 X.1 Modèle de poutre 81 X.1.1 Modèle géométrique 81 X.1.2 Hypothèses cinématiques 82 X.1.3 Écriture de la relation déformations-déplacement 82 X.1.4 Relation de comportement 83 X.1.5 Énergie de déformation 84 X.1.6 Hypothèses sur les déformations transverses 84 X.2 Élément ﬁni de traction-compression : élément barre 85 X.2.1 Espace discrétisé 85 X.2.2 Opérateur gradient discrétisé 86 X.2.3 Matrice de rigidité 86 X.2.4 Calcul de treillis de barres 86 iv X.3 Élément ﬁni de ﬂexion de type Euler-Bernoulli 88 X.3.1 Espace discrétisé 88 X.3.2 Opérateur gradient discrétisé 90 X.3.3 Matrice de rigidité 90 XI Élément ﬁni de plaque • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 93 XI.1 Modèle de plaque 93 XI.1.1 Modèle géométrique 93 XI.1.2 Hypothèse cinématique 94 XI.1.3 Écriture de la relation déformations-déplacements 95 XI.1.4 Relation de comportement entre les déformations et les contraintes 95 XI.1.5 Énergie de déformation 96 XI.1.6 Hypothèses sur les déformations transverses 98 XI.2 Élément ﬁni de type Reissner-Mindlin 98 XI.2.1 Espace discrétisé 98 XI.2.2 Opérateur gradient discrétisé 99 XI.2.3 Matrice de rigidité 100 XI.2.4 Forces extérieures généralisées 101 XI.3 Assemblage de plaques dans l’espace 102 XII Initiation à la programmation • • • • • • • • • • • • • • • • • • 105 XII.1 Langage de programmation 105 XII.2 Le langage Python 106 XII.2.1 Les bases du langage Python et son installation 106 XII.2.2 Les conditions et boucles en Python 107 XII.2.3 Les fonctions en Python 109 XII.2.4 Le calcul matriciel en Python 109 XII.3 Le langage Fortran 112 XII.3.1 Les bases du langage Fortran et son installation 112 XII.3.2 Les conditions et boucles en Fortran 114 XII.3.3 Les fonctions en Fortran 114 XII.3.4 Le calcul matriciel en Fortran 114 XII.4 Utilisation de routines Fortran dans un programme en Python 119 XIII Code SILEX • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 121 XIII.1 Présentation 121 XIII.2 Cœur écrit en Fortran de SILEX pour le tétraèdre à 4 nœuds 122 XIII.2.1 Matrice de rigidité élémentaire 122 XIII.2.2 Matrice de rigidité globale 124 XIII.3 Programme principal en Python 129 XIII.4 Gmsh : un logiciel libre de maillage et de visualisation 134 XIII.5 Un exemple de calcul mené avec SILEX 134 XIII.5.1 Géométrie et conditions aux limites 134 XIII.5.2 Analyse des résultats 134 XIII.5.3 Conclusions de l’étude 135 I — Introduction I.1 Outil d’aide au dimensionnement Le but du dimensionnement des structures est de déterminer les formes, dimensions, matériaux aﬁn de satisfaire la fonction demandée. On peut distinguer deux grands types de chargement sur une structure : 1. chargement en fonctionnement normal, 2. chargement en situation extrème. Pour les situations extrèmes, l’étude est souvent dynamique en non-linéaire. Les critères de dimensionnement sont souvent liés à la sécurité, par exemple : – les passagers d’un véhicule automobile sont-ils bien protégés en cas de choc ? – suite à un seisme et en fonction de son intensité, combien de temps un barrage va t-il tenir ? Concernant les chargements en fonctionnement normal (étude linéaire le plus souvent), on peut répertorier les cas suivants : – Statique : – Les contraintes sont-elles dans le domaine élastique ? – Les déplacements sont-ils acceptables? – Y-a-t-il un risque de ﬂambage? – Dynamique, analyse modale : – Les fréquences propres sont-elles proches des fréquences d’excitation ? – Les formes des modes sont-elles acceptables par rapport à l’utilisation ? 2 Introduction Figure I.1 – Problème réel : dimensionnement des pieds d’une table. – Dynamique, analyse fréquentielle : – Comment uploads/Litterature/ element-finie.pdf