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SEANCE N° 1 Chapitre 1 : Etude des Fonctions (Partie I) Objectif : Définir les

SEANCE N° 1 Chapitre 1 : Etude des Fonctions (Partie I) Objectif : Définir les fonctions. Contenu : 1.1 Définition des fonctions Soit A et B deux ensembles non vides. On appelle fonction de A vers B toute relation de A vers B qui à chaque élément de A associe 0 ou 1 éléments de B. Exemple 1: f est une fonction. A B a x b x c x d x x 1 x 2 x 3 x 4 f 2 Exemple 2 : g n’est pas une fonction. Soit x un élément de A. On notera par f(x) l’élément de B associé à x. Si y = f(x), on dira que y est l’image de x par f et que x est l’antécédent de y par f. Notation : ( ) f : A B x f x → a Désigne une fonction de A dans B. 1.1.1. Applications injectives, surjectives et bijectives Soit A et B deux ensembles non vides et f une application de A dans B. g a x b x c x d x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 A B 3 - Applications injectives Une application f est dite injective lorsque tout élément de l’ensemble d’arrivée B est l’image d’au plus un élément de l’ensemble de départ A. Autrement dit, deux éléments distincts de l’ensemble A ont des images distinctes dans l’ensemble B. Il en résulte de cette propriété qu’une application injective est inversible et possède toujours sont inverse. Exemple 3: Exercice d’application : Soit l’application { } { } \ \ 2 1 1 +2 f : x x x − → − a R R Démontrer que f est injective. Résolution f est injective si et seulement ∀ x1 et x2 ∈ { } \ 2 − R , on a ( ) ( ) 1 2 1 2 f x f x x x ⇒ = = . ( ) ( ) ⇒ f x f x x x 1 2 1 2 = = A B a x b x c x x 1 x 2 x 3 x 4 f 4 ( )( ) ( )( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 +2 +2 1 +2 +2 1 +2 2 +2 2 − − = − = − − −= − − = L’application f est donc injective. - Applications surjectives Une application f d’un ensemble de départ A dans un ensemble d’arrivée B est dite surjective, lorsque dans cette application, chaque élément de l’ensemble B, est l’image d’au moins un élément de l’ensemble A. Exemple 4: Exercice d’application : Soit l’application { } { } \ \ 1 2 2 +1 1 f : x x x − → − a R R Démontrer que f est surjective. A B f a x b x c x d x x 1 x 2 x 3 5 Résolution f est surjective si ∀ y { } \ 2 R , { } \ 1 x ∈ ∃ R tel que : ( ) ( ) ⇒ − − − − ∀≠ − 2 +1 = 1 = 2 +1 1 = 2 +1 2 = +1 +1 = 2 2 x y y x x x xy y x x y y y x y y - Applications bijectives Une application f d’un ensemble de départ A dans un ensemble d’arrivée B est dite bijective lorsque dans cette application chaque élément de B est l’image d’exactement un élément de A. Une application bijective possède une application réciproque. Exemple 5: Exercice d’application : Soit l’application { } { } \ \ 1 1 +5 1 f : x x x − → − a R R A B a x b x c x x 1 x 2 x 3 f 6 Démontrer que f est surjective. Résolution f est surjective si ∀ y { } \ 1 R , { } ! \ 1 x ∈ ∃ R tel que : ( ) ( ) ⇒ − − − − ∀≠ − x y y x x x xy y x x y y y x y y +5 = 1 = +5 1 = +5 1 = +5 +5 = 1 1 La définition d’une fonction particulière ou d’une application revient à la détermination de son domaine, de son co-domaine et de la valeur qu’elle associe à chaque élément de son domaine. : f → R R Une fonction ( ) y f x = exprime une relation entre deux variables x et y telle qu’à chaque valeur de la variable x corresponde une et une seule valeur de y : ( ) + f x x x 2 = 3 2 1 −. 1.1.2. Ensemble de définition On appelle ensemble de définition d’une fonction f, l’ensemble des éléments de A qui ont une image dans B. Cet ensemble est noté Df ou D. Pour étudier une fonction, il est important de déterminer tout d’abord son domaine de définition c'est-à-dire de trouver la partie de l’ensemble de départ sur laquelle cette fonction est définie. Exemple : 1) Soit la fonction : f → R R , a x x 2 3 − ; { } / ; 2 3 0 f D x x 3 = ∈ − 2   ≥ = +∞     R 2) Soit la fonction : f → R R , − x x 3 +1 2 ; { } { } / \ 2 0 f D x x = ∈ − 2 ≠ = R R . 7 3) Soit la fonction : f → R R , − − +1 1 x x x 2 ; { } { } / \ 1 0 f D x x = ∈ − 1 ≠ = R R . 4) Soit la fonction : f → R R , − x x 1 ; { } ] [ / ; 1 0 f D x x = ∈ −> 1 = +∞ R . uploads/Litterature/ 01-analyse-mathematique-2020-2021.pdf