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Centre National de l'Evaluation ,des Examens et de l’Orientation Examen Nationa

Centre National de l'Evaluation ,des Examens et de l’Orientation Examen National d’obtention du Brevet de Technicien Supérieur Session Mai 2014 Page 1 4 Filières Systèmes Electroniques - Electrotechnique - Productique - Mouliste Durée 2 Heures Épreuve MATHEMATIQUES Coefficient 15 Exercice 01 : ( 3.5 points ) On considère l’équation différentielle ( ) 2 : x E x y y x e− ′ − =− ; où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur l’intervalle ] [ 0,+∞ et y′ désigne la dérivée de y . 1 pt 1/ Résoudre sur ] [ 0 , +∞ l’équation homogène : ( ) : 0 H x y y ′ − = . 1 pt 2/ Déterminer deux réels a et b tels que la fonction h définie sur ] [ 0 , +∞ par ( ) ( ) x h x ax b e− = + soit une solution particulière de ( ) E . 0.5pt 3/ Déduire la solution générale de l’équation différentielle( ) E sur ] [ 0 , +∞. 1 pt 4/ Déterminer la fonction f solution de ( ) E sur ] [ 0,+∞ vérifiant la condition : 1 (1) 1 f e = + Exercice 02 : ( 4.5 points ) 1/ On considère les matrices : 1 1 1 1 1 2 2 1 1 A − −     = −     −   et 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I     =       1 pt a/ Calculer 2 A et 3 A . 1 pt b/ Vérifier que : 3 2 3 2 3 A A A I + + = . 1 pt c/ En déduire que A est inversible et déterminer son inverse 1 A−. 2/ On considère le système ( ) 1 2 1 2 2 x y z S x y z x y z − + − =   − + = −   + − =  0.5 pt a/ Ecrire le système ( ) S sous forme matricielle. 1 pt b/ Résoudre le système ( ) S . Examen National d’obtention du Brevet de Technicien Supérieur - Session Mai 2014 Filières : SE - ELT - Productique - Mouliste Épreuve: Mathématiques Page 2 4 Exercice 03 : ( 5 points ) On considère la fonction f de 2 ℝdans ℝ définie par : ( ) 2 2 , 2 2 2 f x y x y xy x y = + + − − 1 pt 1/a/ Calculer pour tout ( ) 2 , x y ∈ℝ ( ) : , f x y x ∂ ∂ et ( ) , f x y y ∂ ∂ 1 pt b/ En déduire que le seul point critique de la fonction f est 1 1 , 6 6       . 0.75 pt 2/a/ Calculer pour tout ( ) 2 , x y ∈ℝ : ( ) 2 2 , f x y x ∂ ∂ ; ( ) 2 2 , f x y y ∂ ∂ ; ( ) 2 , f x y x y ∂ ∂∂ . 1 pt b/ Vérifier que f admet un extremum au point 1 1 , 6 6       et déterminer sa nature 0.75 pt 3/a/ Montrer que pour tout ( ) 2 , x y ∈ℝ : ( ) 2 2 1 1 1 3 1 , , 2 6 6 2 4 2 6 y f x y f x y       − = + − + −             0.5 pt b/ En déduire que f admet un minimum global au point 1 1 , 6 6       . Exercice 04 : ( 7 points ) On considère le signal défini par la fonction périodique f de période 2π telle que pour tout [ ] , t π π ∈− : ( ) 4 t t e e f t − + = . 1/ La courbe ci-dessous est la représentation graphique , dans un repère orthonormal ( ) , , O i j , de la fonction f sur [ ] , π π − . Examen National d’obtention du Brevet de Technicien Supérieur - Session Mai 2014 Filières : SE - ELT - Productique - Mouliste Épreuve: Mathématiques Page 3 4 0.5 pt a/ Justifier graphiquement que la fonction f est paire. 0.5 pt b/ Sur l’annexe (à rendre avec la copie) et à partir de la représentation graphique de la fonction f sur [ ] , π π − , donner le tableau de variation de la fonction f sur [ ] , π π − . 0.5 pt c/ Sur l’annexe ( à rendre avec la copie ) , tracer la courbe représentative de la fonction f sur[ ] 2 , 2 π π − . 2/ On considère les coefficients de Fourier de f définis par 0 1 ( ) 2 a f t dt π π π − = ∫ et pour tout n ∗ ∈ℕ : 1 ( )cos( ) n a f t nt dt π π π − = ∫ ; 1 ( )sin( ) n b f t nt dt π π π − = ∫ 0.5 pt a/ Donner la valeur de n b pour tout n ∗ ∈ℕ . 0.5 pt b/ Vérifier que : 0 4 e e a π π π − − = 1 pt c/ En faisant une intégration par partie deux fois, vérifier que pour tout n ∗ ∈ℕ: ( ) 2 1 2 1 n n e e a n π π π − − − = × + 1 pt 3/ Vérifier que f satisfait aux conditions de Dirichlet sur ℝ et écrire le développement en série de Fourier de la fonction f . 1.5 pt 4/a/ Justifier la convergence des séries numériques de terme général : 2 1 1 n + et ( ) 2 1 1 n n − + 1 pt b/ En utilisant le développement en série de Fourier de la fonction f pour 0 t = et t π = calculer les sommes : ( ) 2 0 1 1 n n n +∞ = − + ∑ et 2 0 1 1 n n +∞ = + ∑ . Fin de l’épreuve Examen National d’obtention du Brevet de Technicien Supérieur - Session Mai 2014 Filières : SE - ELT - Productique - Mouliste Épreuve: Mathématiques Page 4 4 Feuille annexe à rendre avec la copie 1/b/ Tableau de variation de la fonction f : x Variation de f 1/c/ Représentation graphique de la fonction f sur [ ] 2 ,2 π π − : uploads/Litterature/ sujet-principal-bts-se-elt-productique-mouliste-sessionmai2014.pdf