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IUT Orsay Cours du Mesures Physiques 1er semestre Page 47 Intégrale de Riemann

IUT Orsay Cours du Mesures Physiques 1er semestre Page 47 Intégrale de Riemann Bernhard RIEMANN 1826-1866 (Allemagne) Non satisfait de la théorie de l’intégration de Cauchy portant sur les fonctions continues qui lui paraît insuffisante pour manipuler certaines séries de Fourier (pour des fonctions « peu » régulières), il publie (1854) une rigoureuse théorie de l'intégration pour les fonctions bornées (continues ou non) sur un intervalle fermé. D’autres théories de l’intégration ont vu le jour plus tard : intégrale de Stiltjes, intégrale de Lebesgue… mais nous n’en parlerons pas ici. On sait depuis Mercator (1620-1687) et Leibniz (1646-1716), que si une fonction est positive, l'intégrale de cette fonction sur un intervalle [ ; ] a b évalue l'aire « sous la courbe ». L’idée de Riemann a été de repartir de cette évaluation de l’aire en montrant qu’elle pouvait se faire même pour des fonctions non continues… et qui donc ne possèdent pas de primitive. A. Présentation et définition A-I. Approximation d’une aire On suppose pour commencer, qu’une fonction f , pas trop « irrégulière » vérifie ( ) 0 f x ≥ pour tout x de l’intervalle [ ; ] a b . On note f C sa représentation graphique et on appelle S la surface décrite par 0 ( ) a x b y f x ≤ ≤  ≤ ≤  On place entre a et b , des réels 0 1 , ,..., n x x x tels que 0 1 2 ... n a x x x x b = < < < < = . Dans chaque intervalle de la forme 1 [ ; ] k k x x − on choisit un réel k h (au hasard) et on pose ( ) k k y f h = . On appelle alors k R le rectangle de base 1 [ ; ] k k x x − et de hauteur k y . Les rectangles k R recouvrent approximativement la surface S et on comprend bien que, plus les largeurs des rectangles k R sont petites, plus l’approximation est « bonne ». Pour énoncer la condition « les largeurs des rectangles k R tendent vers 0 » on définit x ∆ comme étant le maximum des largeurs : 1 1.. max ( ) k k k n x x x − = ∆= − et on impose la condition 0 x ∆→ Riemann pose alors 1 1 .( ) n n k k k k S y x x − = = − ∑ et démontre que : Si 0 lim n x S L ∆→ = alors L ne dépend pas du choix des 0 1 , ,..., n x x x ni des k h Page 48 Notation : Dans le cas où 0 lim n x S L ∆→ = , on note L sous la forme ( ). b a f x dx ∫ qui se lit « somme entre a et b de tous les ( ). f x dx » c’est à dire somme de toutes les aires des rectangles de largeur infinitésimale que l’on peut trouver en partageant l’intervalle [ ; ] a b … Dans cette notation, on confond dx avec x ∆ mais on démontre et nous admettons que cette confusion n’est pas nuisible. Remarques : Dans la construction de Riemann, rien n’oblige la fonction à être continue… mais la question qui reste est de savoir quelles sont les fonctions « pas trop irrégulières » dont on parle. Au départ, on utilise une fonction positive… mais rien n’interdit de faire la même construction pour des fonctions négatives ou de signe variable. Evidemment il ne s’agit alors plus de calculer une aire. Lorsque le procédé de Riemann s’applique ( 0 lim n x S L ∆→ = ) on facilite les notations et le calcul en utilisant deux « astuces » • on répartit les 0 1 , ,..., n x x x régulièrement dans [ ; ] a b si bien que chaque rectangle a pour largeur b a n − • on place les k h à la borne droite de chaque sous-intervalle de [ ; ] a b . Dans ces conditions, on obtient une forme plus commode de n S appelée « somme de Riemann » dans la suite de ce cours : 1 . ( . ) n n k b a b a S f a k n n = − − = + ∑ Vocabulaire : Dans la notation ( ). b a f x dx ∫ … a et b sont appelés « bornes de l’intégrale » ( ). f x dx est appelé « intégrande » (c’est celui qui subit l’intégration, de même que le multiplicande est celui qui subit la multiplication et, plus généralement, l’opérande est celui qui subit l’opération… l’opérateur étant celui qui fait l’opération) dx est appelé « élément différentiel » x est une variable « muette » : son nom n’intervient pas dans le résultat. A-II. Où disparaissent les erreurs ? En fait, pour obtenir réellement l’aire souhaitée, il faudrait que les « frontières supérieures » des rectangles soient remplacées par des portions de la courbe f C … L’erreur commise en remplaçant ces frontières courbes par des frontières droites est une erreur d’ordre supérieur à 1 qui disparaît donc lors du passage à la limite comme on le verra en TD. A-III. Fonctions intégrables au sens de Riemann Un grand nombre de fonctions sont intégrables par le procédé de Riemann… On peut citer en particulier : • Toutes les fonctions définies et monotones dans [ ; ] a b • Toutes les fonctions continues par morceaux dans [ ; ] a b (c’est à dire les fonctions pour lesquelles on peut trouver un nombre fini de sous-intervalles de l’ensemble de définition tels que dans chaque sous-intervalle la fonction soit continue) On voit donc apparaître des fonctions qui ne sont pas intégrables par la méthode usuelle des primitives mais qui le sont par le procédé de Riemann : une fonction intégrable dans [ ; ] a b au sens de Riemann ne possède pas nécessairement une primitive dans [ ; ] a b . Page 49 Démonstration pour ceux qui souhaitent comprendre : Les fonctions monotones croissantes définies dans [ ; ] a b sont toutes intégrables selon Riemann : On encadre l’aire cherchée, disons A, en utilisant d’une part les bornes gauches des sous intervalles et d’autre part les bornes droites : n n Aires des rectangles avec les bornes gauches Aires des rectangles avec les bornes droites inf sup 1 1 ( ) ( ) k k I n A I n = = = ≤ ≤ = ∑ ∑ On voit ainsi apparaître dans chaque « colonne » l’erreur maximum commise : c’est l’écart entre l’aire du rectangle « trop grand » et celle du rectangle « trop petit ». On peut regrouper toutes ces erreurs en les faisant « glisser » dans la première colonne : la somme des erreurs est alors représentée par un rectangle de largeur b a n − et de hauteur ( ) ( ) f b f a − . Si on note σ la somme des erreurs, on a : ( ) . ( ) ( ) b a f b f a n σ − = − . Lorsque n →∞, on a 0 σ → et le théorème des gendarmes permet d’être certain que ( ). b a f x dx ∫ existe puisque inf sup ( ) ( ). ( ) b a I n f x dx I n ≤ ≤ ∫ . Page 50 A-IV. Algorithme Comment alors calculer l’intégrale d’une fonction qui n’a pas de primitive ? En utilisant un algorithme qui « colle » de près à la définition ! On suppose connus : • la fonction f • les bornes a et b • le nombre n de sous intervalles du partage de [a ;b] On utilise des variables locales : • deltax : réel, pour représenter la largeur des sous-intervalles • som : réel, pour préparer le résultat de la fonction • k : entier, compteur de boucle Début som0 deltax(b-a)/n Pour k allant de 1 à n faire (k pourrait aller de 0 à n-1) somsom+deltax*f(a+k*deltax) FinPour Retourner som Fin NB : A la fin de ce chapitre, la version « langage C » de cet algorithme est donnée « intégralement »… Un exemple d’application concrète : On sait que la quantité d’électricité est l’intégrale de l’intensité électrique. Par exemple, pour un courant d’intensité constante 2 mA, la quantité d’électricité qui traverse un conducteur en 7 h est 14 mAh. Lorsque l’intensité est variable comme c’est le cas dans une maison ou un appartement (la consommation est forte lorsqu’une machine à laver, un fer à repasser, un four… fonctionnent et plus faible lorsque tout est éteint !) la mesure de la quantité d’électricité ne peut uploads/Litterature/ cours-integrale-de-riemann.pdf