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Mercredi 7 novembre 2001 1°S3 DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h) (Calculatrice autori

Mercredi 7 novembre 2001 1°S3 DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h) (Calculatrice autorisée) I/ Equation du second degré avec un paramètre. Soit (Em) l’équation : (m – 1)x2 + 2mx + m + 2 = 0. 1°) Résoudre les équation (E0) et (E1) (c’est à dire résoudre l’équation (Em) dans le cas où m = 0 puis dans le cas où m = 1). 2°) a) Pour quelle(s) valeur(s) de m l’équation (Em) admet-elle x = 0 comme solution ? b) Résoudre l’équation (Em) dans ce(s) cas. 3°) a) Pour quelle(s) valeur(s) de m l’équation (Em) admet-elle une unique solution ? b) Pour quelle(s) valeur(s) de m l’équation (Em) admet-elle deux solutions distinctes ? c) Pour quelle(s) valeur(s) de m l’équation (Em) n’admet-elle aucune solutions réelles ? II/ Equations symétriques. Soit l’équation (E) : 2x4 – 9x3 + 8x2 – 9x + 2 = 0. 1°) a) Justifier que 0 n’est pas solution de (E) et en déduire que (E) peut s’écrire : 0 8 1 9 1 2 2 2 = +      + −       + x x x x b) Pour tout x ≠ 0, on pose X = x + x 1 . Montrer que x est solution de (E) si et seulement si X est solution de (E’) : 2X2 – 9X + 4 = 0. 2°) a) Résoudre l’équation (E’). b) En déduire les solutions de l’équation (E). III/ Equations de droites et de cercles. Soit A(-2 ; 1) et B(4 ; -2) deux points du plan muni d’un repère orthonormal (O ; j i r r , ). On note (C) l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que : x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0 (Faire la figure sur une feuille séparée) 1°) Justifier que (C) est un cercle dont on indiquera le centre et le rayon. 2°) Déterminer une équation de la droite (AB). 3°) Déterminer les points d’intersection I et J de (AB) avec (C). 4°) Déterminer une équation de la tangente à (C) au point K(2 ;-1). IV/ Produit scalaire et angle. Soit ABCD un rectangle tel que BC = a et AB = 3BC. On note E le point de [CD] tel que DE = a. Le but de l’exercice est de calculer EB . EA pour en déduire une valeur approchée de l’angle AEB. 1°) c) Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D et E dans le repère orthonormal (A ; j i r r , ) avec i ar 3 AB = et j ar = AD . b) En déduire une expression de EB . EA en fonction de a. 2°) a) Exprimer les longueurs EA et EB en fonction de a. b) En déduire une expression de EB . EA en fonction de a de AEB. 3°) Déduire des question précédentes une valeur approchée de AEB en degré à 10-1 près . Barème possible : I/ 5 pts - II/ 5 pts - III/ 5 pts - IV/ 5 pts - Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction de la copie - uploads/s3/ 1s-d03.pdf