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Devoir de maths 7° C 04/02/2017 4 heures Proposé par l’association des amis de

Devoir de maths 7° C 04/02/2017 4 heures Proposé par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page 1/2 جمعية أصدقاء الرياضيات ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES DEVOIR DE SYNTHESE Niveau : 7C Durée :4H Proposé le 04 février 2017 de 8h à 12h Exercice 1 (3 points) Soit   0,  et   El’équation dans définie par :     2 i 2i z i 2sin 1 e z 2 sin e 0        . 1° a) Calculer le discriminent ( ) et vérifier que   2 i ( ) i 2sin 1 e      . b) En déduire les deux solutions de   E.telles que z 1  etzl’autre solution. c) Mettre zetzsous forme exponentielle. 2° ) Calculer l’intégrale 0 I ( )d      Exercice 2 (3 points) On se propose dans cet exercice de calculer, par deux méthodes différentes, l’intégrale 3 2 2 I x 6x 8dx      1)On pose g(x) sinx  avec x 2 2      . a) Montrer que g réalise une bijection de , 2 2         sur un intervalle que l’on déterminera et montrer que   1 2 1 g '(x) 1 x    . b) Calculer la dérivée de la fonction H définie par : 2 1 H(x) (x 3) x 6x 8 g (x 3)         . c) En déduire le calcul de l’intégrale 3 2 2 I x 6x 8dx      . 2) En posant x 3 cost  , recalculer I et comparer avec les résultats précédents. Exercice 3 (4 points) On considère l’équation E :109x 226y 1   où x ety sont des entiers relatifs. 1° a) Déterminer le PGCDde109et 226 . Que peut-on conclure pour l’équation E ? b) Donner une solution particulière de  E . Déterminer alors l’ensemble des solutions de  E . c) En déduire qu’il existe un unique entier naturel d inférieur ou égal à226 et un unique entier naturel e tels que 109d 1 226e  . On précisera les valeurs de d ete . 2° Montrer que 227est premier. 3° On note Al’ensemble des entiers naturels a tels que a 226  . On considère les deux fonctions f etg définies de Adans Ade la manière suivante :  f a r  oùr est le reste de la division euclidienne de 109 a par227et  g a r  oùrest le reste de la division euclidienne de 141 a par227. a) Vérifier que  g f 0 0  . b) Justifier que, quelque soit l’entier non nul a de A,   226 a 1 227  . c) En déduire que, quelque soit l’entier non nul a de A,  g f a a     . Que peut-on dire de  f g a     ? Exercice 4 (4 points) Le plan complexe Pest muni d’un repère orthonormé   O;u , v 1° On donne dans l’équation :   E :   3 i 2 2i 3i z 2ie z 2ie z 4e 2 i 0         avec   0,2  . Devoir de maths 7° C 04/02/2017 4 heures Proposé par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page 2/2 a) Vérifier que   0 E pour  0  admet une solution réelle à déterminer. b) Résoudre alors dans l’équation  0 E . 2° a) Montrer que z est une solution de   Esi et seulement si i zeest solution de  0 E b) En déduire les solutions   E. 3° On note A,BetC les images des solutions de   0 E avec A z  , B C z z  et A',B'etC'celles des solutions de   E. a) Calculer puis interpréter les complexes A B C z z z  et B C A z z z  . b) Caractériser l’application r de P dans Pqui à tout point  M z associe  M' z' tel que i z' e z   c) En déduire que les triangles ABCet A'B'C'ont le même orthocentre. d) Montrer que les points A',B'etC'varient sur des cercles concentriques à préciser. Exercice 5 (6 points) Soit la f fonction définie sur par :  2 x f x 1 1 x 1    1° a) Dresser le tableau de variation de f . b) Montrer que le point   I 0,1 est un centre de symétrie de  C . c) Donner une équation de la tangente  T à C au point I . d) Tracer la courbe  C et la droite :y x   dans un repère orthonormé   O;i , j . 2° a) Montrer que f réalise une bijection de sur  0,2 . b) Montrer que l’expression de 1 f (x)  sur  0,2 est :      1 2 2 x 1 f x 1 x 1      . c) Tracer la courbe   C de 1 f dans le repère précédent. 3° On considère la fonction gdéfinie sur 0, 2        par    g x f tanx  pour x 0, 2        etg 2 2        . a) Montrer que gest continue sur 0, 2        . b) Montrer que l’expression de gsur 0, 2        est :  sinx g x 1 1 cosx   . c) Montrer que gréalise une bijection de 0, 2        sur un intervalle à déterminer. d) Montrer que 1 gest dérivable sur  1,2 et que     1 2 2 g x 1 x 1     . e) Montrer que   x 1,2   1 1 2 g x g x 2            . 4° On pose pour tout n   , n 1 n k 0 1 u g 1 n k             et n n u v n 1   . a) Montrer que pour tout n   , 1 1 1 1 1 1 g 1 g 1 g 1 2n n k n                            . En déduire que   n v est convergente et donner sa limite. b) Soit   n 1 n k 0 2 n k 1 t g n 1 1 n k                 . Déduire que  n t est convergente et donner sa limite. Fin. uploads/s3/ devoiramimath7c2-2017 1 .pdf