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Ptin Master de cryptographie Probabilités et statistique pour la théorie de l ? information Notes de cours Dimitri Petritis UFR Mathématiques Rennes Septembre CDimitri Petritis Institut de recherche mathématique de Rennes Université de Rennes et CNRS UMR

Master de cryptographie Probabilités et statistique pour la théorie de l ? information Notes de cours Dimitri Petritis UFR Mathématiques Rennes Septembre CDimitri Petritis Institut de recherche mathématique de Rennes Université de Rennes et CNRS UMR Campus de Beaulieu Rennes Cedex France Mathematics subject classi ?cation - - c ?? D Petritis CTable des matières Aléa et information Rôle de l ? aléa Probabilités et intuition aléatoire Esquisse du problème d ? estimation statistique Exercices I Théorie des probabilités statistique mathématique Théorie élémentaire des probabilités Espace de probabilité Espace des épreuves espace des événements Probabilisation Variables aléatoires Exercices Probabilité conditionnelle et indépendance Conditionnement Indépendance Exercices Espérance variance théorèmes des grands nombres Espérance Cas discret Cas continu à densité Variance et covariance Fonction génératrice Fonction caractéristique Théorèmes des grands nombres Théorème central limite Exercices Cha? nes de Markov sur des espaces d ? états dénombrables Probabilités de transition matrices stochastiques Temps d ? arrêt Propriété forte de Markov Classi ?cation des états Recurrence transience Probabilité limite probabilité invariante stationnaire Stationnarité réversibilité Théorème des grands nombres pour les cha? nes de Markov iii CTABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES Exemples d ? applications algorithmiques Classi ?cation de pages internet algorithme PageRank Algorithme de Metropolis Exercices Notions de statistique Motivation Estimation paramétrique Estimation ponctuelle Estimation d ? intervalles de con ?ance Tests d ? hypothèses Estimation non paramétrique Exercices II Théorie de l ? information Quanti ?cation de l ? information Postulats d ? une quantité d ? incertitude entropie Trois interprétations de l ? entropie H est une espérance qui nous fait vieillir H est le nombre moyen de questions nécessaires pour déterminer la valeur que prend une variable aléatoire H est le rapport des logarithmes du volume des con ?gurations typiques sur celui de toutes les con ?gurations Propriétés de la fonction entropie entropie relative Entropie des évolutions markoviennes Couples de variables aléatoires Entropie conjointe Entropie conditionnelle Information mutuelle Registres de stockage de l ? information Propriétés des registres Deuxième loi de la thermodynamique principe de Landauer Exercices Sources et leur codage Sources Codes uniquement décodables Théorème de Shannon sur le codage sans bruit Inégalité de Kraft Codes optimaux Algorithme de Hu ?man pour la construction de codes optimaux Examen critique du code de Hu ?man Autres types de codes Le code arithmétique de Shannon-Fano-Elias Codage universel et algorithme de Lempel-Ziv Exercices Users dp a ens ptin tex iv - - ? CTABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES Canaux bruités sans mémoire Modélisation markovienne Classi ?cation des canaux Canaux sans perte Canaux déterministes Canaux sans bruit Canaux inutiles Canaux symétriques Capacité du canal propriétés de la capacité Un exemple illustratif simple Le théorème fondamental de la transmission Codage du canal bruité Probabilité d ? erreur de transmission Le théorème Exercices Chi ?rement Sécurité des communications Le chi ?rement comme code Les niveaux de sécurité Code de Vernam one-time pad Authenti ?cation Illustration du problème et notation Minoration de la probabilité de fraude Signature Qu ? est-ce la cryptographie post-quantique Exercices Codes