Pour bien démarrer l’année Ce chapitre a un statut un peu particulier par rappo

Pour bien démarrer l’année Ce chapitre a un statut un peu particulier par rapport à tous ceux qui vont suivre : nous allons y étudier les bases de la logique mathématique et y définir quelques notions élémentaires que nous utiliserons toute l’année. Ne paniquez pas si vous n’aimez pas ce chapitre, les chapitres suivants ressembleront davantage aux chapitres que l’on vous a enseignés au lycée. 1 Un peu de logique Convenons d’appeler proposition toute phrase p au sujet de laquelle on peut poser la question : p est-elle vraie ? La plupart des phrases grammaticalement correctes sont des propositions, mais par exemple, « Dis-le-moi ! », « Bonjour » ou « Comment vas-tu ? » n’en sont pas ; la question « Est-il vrai que bonjour ? » n’a aucun sens. La valeur de vérité d’une proposition est soit le vrai (V), soit le faux (F). Deux propositions qui ont la même valeur de vérité sont dites équivalentes ; cela veut dire qu’elles sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses. Cette notion est très importante : quand vous devez démontrer une proposition p, vous n’êtes pas obligé de démontrer p elle-même ; il suffit que vous démontriez n’importe quelle proposition q équivalente à p. Exemple « Socrate n’est pas immortel » et « Socrate est mortel » sont deux propositions équivalentes ; démontrer l’une revient donc à démontrer l’autre. 1.1 Connecteurs logiques On appelle connecteur logique tout moyen de construire une proposition unique à partir d’une ou plusieurs propositions. Par exemple, « et », « ou », « si, alors » et « parce que » sont des connecteurs ; à partir des propositions « J’ai faim » et « J’ai soif », on peut construire une nouvelle proposition « J’ai faim et (j’ai) soif ». Un connecteur logique est dit vérifonctionnel si la valeur de vérité d’une proposition construite à l’aide de ce connecteur dépend seulement de la valeur de vérité des propositions utilisées dans la construction. Ainsi la proposition « p et q » est vraie si et seulement si les deux propositions p et q sont vraies. Peu importe le contenu exact de p et q ; seule leur vérité compte. En mathématiques, tous les connecteurs logiques sont vérifonctionnels. L’intérêt des connecteurs vérifonctionnels réside dans la facilité avec laquelle on peut les définir. Par exemple, pour définir le connecteur « et », il suffit de décrire, en fonction de la valeur de vérité de p et q, la valeur de vérité de la proposition « p et q » : par définition, « p et q » est vraie si p et q le sont, et fausse dans tous les autres cas. Par souci de clarté, on présente généralement cette définition sous forme d’un tableau appelé une table de vérité : p q p et q V V V V F F F V F F F F Pour votre propre culture, vous remarquerez que certains connecteurs logiques ne sont pas vérifonctionnels. C’est le cas du connecteur « parce que ». Imaginons en effet un contexte dans lequel il est vrai que « Ses lunettes sont cassées parce qu’il les a faites tomber ». Alors les deux propositions « Ses lunettes sont cassées » et « Il les a faites tomber » sont vraies. Remplaçons à présent « Il les a faites tomber » par « La glace est un solide », elle aussi vraie. Si le connecteur « parce que » était vérifonctionnel, notre nouvelle proposition « Ses lunettes sont cassées parce que la glace est un solide » devrait encore être vraie ; ce qui n’est pas le cas. Cette absurdité prouve que « parce que » n’est pas vérifonctionnel. 1.1.1 Négation non La proposition « non p » est vraie si p est fausse, fausse si p est vraie. p non p V F F V Loi de la double négation : p et « non (non p) » sont deux propositions équivalentes. On s’en rend compte en observant la table suivante : p non p non (non p) V F V F V F ↖ ↗ Colonnes identiques 1 1.1.2 Conjonction et, disjonction ou La proposition « p et q » est vraie si p et q sont vraies, fausse dans tous les autres cas. Quant à la proposition « p ou q », elle est vraie si p est vraie ou si q est vraie (éventuellement les deux), fausse dans le seul cas où p et q sont fausses toutes les deux. p q p et q p ou q V V V V V F F V F V F V F F F F $ $ $ Attention ! Dans le langage usuel, il arrive que le « ou » oppose les termes qu’il relie : dans l’expression « fromage ou dessert », le « ou » est exclusif car il exclut la possibilité qu’on choisisse les deux (fromage et dessert). Au contraire, en mathématiques, « ou » est inclusif : « p ou q » est vraie même quand p et q sont vraies. Lois de De Morgan : • « non (p et q) » et « (non p) ou (non q) » sont deux propositions équivalentes. • « non (p ou q) » et « (non p) et (non q) » sont deux propositions équivalentes. p q non p non q p et q non (p et q) (non p) ou (non q) p ou q non(p ou q) (non p) et (non q) V V F F V F F V F F V F F V F V V V F F F V V F F V V V F F F F V V F V V F V V ↖ ↗ ↖ ↗ Colonnes identiques Colonnes identiques Exemple Ces deux phrases sont équivalentes :  « Je n’aime ni le chocolat ni la vanille » — « (non p) et (non q) » « Il est faux que j’aime le chocolat ou la vanille » — « non (p ou q) » . 1.1.3 Implication = ⇒ La proposition « p = ⇒q » se lit « p implique q » ou « si p, alors q ». Elle est vraie si p est fausse ou si q est vraie, fausse uniquement lorsque p est vraie et q fausse. Elle répond à la question : si on suppose que p est vraie, q l’est-elle aussi ? La proposition p est appelée l’antécédent de l’implication « p = ⇒q », et q est appelée son conséquent. p q p = ⇒q V V V V F F F V V F F V    En pratique Pour montrer la vérité d’une implication « p = ⇒q », il convient d’abord de supposer que p est vraie (ce n’est là qu’une hypothèse) ; puis de montrer d’une façon ou d’une autre que, sous cette hypothèse, q est vraie. Même si vous ne savez pas démontrer jusqu’au bout que l’implication « p = ⇒q » est vraie, vous devez sur votre copie, de vous-même, commencer bêtement par : « Supposons p vraie ». $ $ $ Attention ! • Une implication « p = ⇒q » peut être vraie alors que p et q n’ont rien de commun. Il suffit que leurs valeurs de vérité respectent la table de vérité de l’implication. Ainsi la phrase « Si 0 = 0, alors les oiseaux ont des plumes » est vraie. • Par définition, « p = ⇒q » est toujours vraie quand p est fausse. Ainsi la phrase étrange « Si 0 ̸= 0, alors 0 = 0 » est vraie. Après un tel exemple, la définition du connecteur = ⇒peut sembler suspecte ; pourquoi donc avoir choisi cette table de vérité ? Nous le justifierons un peu plus loin. • Affirmer que « p = ⇒q » est vraie n’implique ni que p est vraie, ni que q est vraie. Ainsi, il est vrai que « Si Pinocchio est Président de la République, alors il est le chef des armées » ; pourtant il est faux que Pinocchio est Président de la République, et il est également faux qu’il est chef des armées. Négation d’une implication : « non (p = ⇒q) » et « p et (non q) » sont deux propositions équivalentes. p q non q p = ⇒q non (p = ⇒q) p et (non q) V V F V F F V F V F V V F V F V F F F F V V F F ↖ ↗ Colonnes identiques    En pratique Conformément à ce qui précède, pour montrer qu’une implication « p = ⇒q » est fausse, on peut montrer que « p et (non q) » est vraie, i.e. que p est vraie mais que q est fausse. 2 Exemple Est-il vrai que, si on a 18 ans (p), alors on a le droit de vote (q) uploads/Philosophie/ pour-bien-demarrer-l-x27-annee-math-cycle-prepa.pdf

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