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22/09/2013 1 Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Fac

22/09/2013 1 Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Faculté de Mathématiques Math1 L1 – Semestre 1 SM – ST Dr. M. ZIDANI-BOUMEDIEN Programme du Math1 1. Ensembles, Relations, Applications 2. Structures Algébriques fondamentales 3. Suites numériques 4. Fonctions d’une variable réelle: Calcul différentiel et intégral 5. Algèbre Linéaire USTHB – Fac. Math - 09/2013 2 MATH1 - L1- S1 Bibliographie: 1) Nikolaï Piskounov. « CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL », Tome 1 et 2. Editions Mir, MOSCOU 1980 ou Ed. Ellipses 1993. 2) B. Démidovitch. « RECUEIL D’EXERCICES ET DE PROBLÈMES D’ANALYSE MATHÉMATIQUE». Editions Mir, MOSCOU 1984. 3) James STEWART. «Analyse : concepts et contextes Vol 1 Fonctions d'une variable ». Editeur DE BOECK, 2011. 4) exo7.emath.fr 5) http://www.bibmath.net/ 6) … 4) et 5) pour vous exercer mais ne vous dispersez pas avec trop de lectures sur le web! USTHB – Fac. Math - 09/2013 MATH1 - L1- S1 3 Avant-propos Le programme de ce cours est bien chargé, n’est-ce pas? Oui, et c’est pour cette raison qu’un support de cours adapté à ce programme est absolument indispensable et c’est aussi pour cette raison que nous insisterons sur la compréhension des concepts nouveaux de ce cours en tenant compte de ce que vous avez déjà appris au lycée. Nous traiterons chaque concept, autant que possible, selon différentes représentations: symbolique, numérique, visuel et verbal. Une fois ces concepts de base bien assimilés, vous n’aurez aucun mal dans la suite de votre cursus, à vous approprier les techniques associées à chaque concept selon votre spécialité. Vu que les filières SM et ST s’intéressent essentiellement aux mathématiques appliquées, dans ce cours, les démonstrations purement formelles ne seront pas prioritaires. USTHB – Fac. Math - 09/2013 4 MATH1 - L1- S1 Avant-propos Évidemment, pour réussir ce cours de base, il faut au moins: Lire et Relire le cours, Faire les exercices proposés, Poser des questions et Persévérer! Les chapitres 1 et 2 sont particulièrement nouveaux pour vous mais le cours sera mis sur la page web de la faculté de mathématiques, par chapitre. Certains chapitres sont déjà prêts, d’autres restent à faire. Comme nul n’est infaillible, des erreurs pourraient se glisser dans cette première contribution malgré mes multiples vérifications. Les remarques et/ou questions, sont les bienvenues de la part de mes collègues ou même des étudiants à qui nous disons: بالتوفيق USTHB – Fac. Math - 09/2013 5 MATH1 - L1- S1 Chapitre 1. 1. Notions de Logique. 2. Ensembles 3. Relations: d’ordre et d’équivalence. 4. Application, injection, surjection, bijection. USTHB – Fac. Math - 09/2013 MATH1 - L1- S1 6 22/09/2013 2 1. Notions de Logique Considérons la situation suivante: Deux étudiants Salim et Rachid veulent travailler ensemble à la bibliothèque le lendemain de leur rencontre. Rachid dit à Salim: « s’il pleut, je ne viendrai pas ». Salim lui répond: « Ok ». Il n’a pas plu mais Rachid n’est pas venu, donc Salim s’est fâché, considérant que Rachid a manqué à sa parole. Rachid, a-t-il vraiment manqué à sa parole? Cette situation est une des ambiguïtés du langage courant (qui crée d’énormes problèmes entre les gens!) que la logique par son langage rigoureux permet d’éviter. D’autre part, si une question se pose, donner une réponse, n’avance à rien si celle-ci n’est pas justifiée. C’est par une démarche logique, un raisonnement ou une démonstration, que la réponse est jugée vraie (juste) ou fausse. C’est donc par les moyens que donne la logique, qu’il est possible de construire un raisonnement mathématique rigoureux. USTHB – Fac. Math - 09/2013 MATH1 - L1- S1 7 1. Notions de Logique 1) Mots Mathématiques En plus des termes primitifs, ou mots du langage courant avec le sens courant, il existe des mots spécifiques aux mathématiques: Une assertion est un énoncé qui prend une seule des 2 valeurs logiques: soit vrai, soit faux. Exemples: « 1=0 » est une assertion fausse; " " est une assertion vraie; " " n’est pas une assertion. Un axiome est un énoncé qu’on ne peut pas démontrer parce qu’ils sont les premiers, ils sont vrais par convention. Exemple, les axiomes d’Euclide. Les énoncés qui se démontrent, sont classés selon leur importance: •un théorème est une assertion vraie déduite d’autres assertions déjà connus en utilisant les seules règles de la logique au moyen d’une démonstration. Il s’agit en général d’un résultat important à retenir ; •un lemme est un résultat préalable utile pour démontrer un théorème; •un corollaire est une conséquence importante d’un théorème ; •une proposition est une assertion jugée vraie ou fausse sans ambiguïté, par une démonstration facile. Une proposition est moins importante qu’un théorème. USTHB – Fac. Math - 09/2013 MATH1 - L1- S1 8 réel x tout pour ex , 0  2 x 1. Notions de Logique 2) Symboles mathématiques de base A. Le quantificateur universel et le quantificateur existentiel : Si, pour toute valeur de la variable x d’un ensemble E, la proposition P est vraie (vérifiée), on écrira: . S’il existe au moins une valeur de la variable telle que la proposition P soit vérifiée, on écrira: . Exemples: Soit les propositions suivantes contenant la variable x réelle: Pour dire si ces propositions sont vraies ou fausse en utilisant les quantificateurs, on écrira: ou B. Égalité « = »: « a = b » veut dire « a désigne le même élément que b ». Par abus de langage, on dit « a égal b ». USTHB – Fac. Math - 09/2013 MATH1 - L1- S1 9 vraie P , x  vraie P , x    . x x : C(x) 1); x(x x x : B(x) 0; 1 x : A(x) 2 2        1   vraie que tel 1 1 A(x) , - x  fausse. simplement ou vraie C(x) x, B(x); x, B(x) x,      vraie 1 1 A(x) , - x  1. Notions de Logique 3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques Connecteurs logiques opérations entre propositions formalisme mathématique A. Négation: La négation de P, notée ou « non P » ou , est la proposition qui est vraie si P est fausse et fausse si P est vraie. Exemples: P: «x est pair », : « x impair»; Q: « a = b », non Q: «a ≠ b» H: « », non H: « ». B. Conjonction « et »: « P et Q » veut dire P est vraie et Q est vraie en même temps. Notation de « et » : C. Disjonction « ou »: « P ou Q » indique que l’une au moins, des deux propositions est vraie, (mais, P et Q faux en même temps: impossible) donc le sens cumulatif du « ou »se traduit par l’une des expressions: 1) P vraie, Q faux; 2) Q vraie, P faux; 3) P et Q vraies. On peut aussi résumer avec un tableau de vérité: valeurs de « P ou Q » en vert USTHB – Fac. Math - 09/2013 MATH1 - L1- S1 10 P  P P  vraie P , x  vraie non P , x   P/Q V F V V V F V F 1. Notions de Logique 3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques (suite) D. Implication: une relation entre deux propositions (ou entre deux ensembles de propositions): « P et Q » , qui veut dire « si P est vraie, alors Q est vraie ». On note P Q; on dit: P implique Q ou P entraine Q. L’énoncé verbal d’une implication constitue un théorème: P  hypothèse et Q  conclusion; on peut aussi énoncer: Pour que P soit vraie, il faut que Q soit vraie; Q est une condition nécessaire de P. Pour que Q soit vraie, il suffit que P soit vraie; P est une condition suffisante de Q. L’implication est transitive i.e. Si P, Q et A sont trois propositions, les hypothèses P Q et Q A entrainent P A. L’implication n’est pas tjs symétrique i.e. P Q n’entraine pas tjs Q P. USTHB – Fac. Math - 09/2013 MATH1 - L1- S1 11       1. Notions de Logique 3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques (suite) E. Équivalence: Si P Q et Q P, on a une équivalence logique. On note: et on énonce : P est équivalente à Q . On peut aussi énoncer: Pour que P soit vraie, il faut et il suffit que Q soit vraie; P est vraie si et seulement si Q soit vraie; Le symbole s’utilise aussi dans le cas d’une définition, on note cette équivalence verbale: 4) Méthodes de raisonnement ou de démonstration opérations logiquesméthodes de raisonnement ou de démonstration. But: Montrer l’implication H C. A. Démonstration directe: déduire logiquement C de H, en se basant sur la transitivité de l’implication (raisonnement déductif). B. Substitution par une ou des propositions équivalentes. C. Cas par cas. Exemple: Montrez que USTHB – Fac. Math - 09/2013 MATH1 - L1- S1 uploads/Philosophie/ math1-cours-intro-chap1-z-b.pdf