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Concours general mathematiques 2012 sujet

F www ?? ??freemaths ?? ??fr CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SUJET Session de ?? COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Classes de terminale S freemaths ?? ??fr F Concours Général des lycées Mathématiques S ?? ?? ?? ?? ?? CCONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Classe terminale S DURÉE HEURES La calculatrice est autorisée conformément à la réglementation La clarté et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l ? appréciation de la copie Le sujet comporte trois problèmes indépendants Le candidat peut traiter les questions dans l ? ordre de son choix à condition de l ? indiquer clairement dans la copie CProblème Les premiers sont les derniers Pour tout entier n on dispose de la décomposition en facteurs premiers n pa pa pakk o? p p pk qu ? on suppose distincts sont les diviseurs premiers de n et o? les exposants a a ak sont des entiers strictement positifs On pose alors f n ap a p akpk Par exemple si n on a f n En posant de plus f on obtient une fonction f de ? N dans N ? En ?n pour tous entiers n et i on note f n n et f i n f f i n Par exemple f f f f f Le but de ce problème est d ? étudier le comportement de la fonction f et des suites f i n i ??N pour n ?xé a Calculer f b Déterminer les nombres f i pour i Que peut-on dire des suivants a Donner un exemple d ? entier n tel que pour tout entier naturel i on ait f i n f i n et f i n f i n b Montrer que la fonction f n ? est ni croissante ni décroissante Résoudre a l ? équation f n b l ? équation f n c l ? équation f n a Pour tous entiers a et b montrer que ab ab b Soit k ?? ? N et soit a ak b bk des entiers tels que ai et bi Montrer que a b a b akbk ab a b abkk pour tout i c Pour tout n ?? N ? montrer que f f n n d Soit n ?? ? N Montrer qu ? il existe un entier naturel r que pour tout entier i r on ait f i n f i n Soit E l ? ensemble des entiers n n ? ayant que des exposants strictement supérieurs à dans leur décomposition en facteurs premiers a Montrer que pour tout entier a il existe des entiers naturels et ? tels que a ? b En déduire que si n appartient à E alors il existe un élément m de E tel que f m n c Donner un élément m de E tel que f m d Que peut-on dire de la réciproque du b CProblème Une suite majoritairement décroissante Soit un n une suite de