Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D’ADMISSION 2000 DEUXIÈME COMPOSITION D

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D’ADMISSION 2000 DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. ⋆⋆⋆ On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. ⋆⋆⋆ Ce problème a pour objet l’étude de certains cônes dans des espaces euclidiens. On désigne par E l’espace euclidien Rn(n ≥1), par (.|.) son produit scalaire usuel, et par ∥.∥ la norme associée. Pour toute partie X de E, on note X⊥(resp. X+) l’ensemble des éléments x de E satisfaisant (x|y) = 0 (resp. (x|y) ≥0) pour tout y de X. Une partie C de E sera appelée cône à faces s’il existe une famille ﬁnie d’éléments c1, . . . , cr (r > 0) de E telle que C soit l’ensemble des combinaisons linéaires r i=1 λici avec λ1, . . . , λr ≥0. On supposera toujours les ci non nuls, et on dira qu’ils engendrent C. Enﬁn on appelle face de C toute partie de C de la forme C ∩{w}⊥avec w ∈C+. La première partie est indépendante des suivantes. Première partie 1. Vériﬁer que tout sous-espace vectoriel non nul de E est un cône à faces. 2. Supposant n = r = 2, décrire (sans démonstration mais avec des ﬁgures) les ensembles C, C+ et donner sous chaque ﬁgure la liste des faces de C suivant les diverses positions relatives de c1 et c2. 3. Supposant que n = r = 3 et que (c1, c2, c3) est une base orthogonale de E, décrire sans démonstration C, C+ et les faces de C. 11 Deuxième partie On se propose, dans cette partie, de démontrer que tout cône à faces est fermé dans E. 4.a) Soit K une partie compacte de E ne contenant pas 0. Montrer que l’ensemble des éléments de la forme λx, où λ ∈R+ et x ∈K, est fermé dans E. b) Ce résultat subsiste-t-il si l’on suppose K seulement fermé, ou si K, compact, contient 0 ? 5. On considère maintenant un cône à faces C engendré par des éléments c1, . . . , cr. a) Montrer que C est fermé lorsqu’il ne contient aucune droite vectorielle. [On pourra introduire l’ensemble K des éléments r i=1 λici avec λi ∈R+ et r i=1 λi = 1.] b) Soit V un sous-espace vectoriel de E (éventuellement réduit à 0) contenu dans C et distinct de C. On note P le projecteur orthogonal de E sur V ⊥. Vériﬁer que P(C) est un cône à faces contenu dans C. c) Supposant que P(C) contient une droite vectorielle, construire un sous-espace vectoriel de E contenu dans C et contenant strictement V . d) Montrer que C est fermé dans E. Troisième partie 6. On se propose ici de démontrer que tout cône à faces C vériﬁe (C+)+ = C. a) Soit a un élément de E. Montrer que la fonction réelle déﬁnie sur C par c →∥c −a∥ atteint sa borne inférieure en un point unique de C. On le notera p(a). b) Déterminer le signe de (p(a)−a|c) lorsque c ∈C, ainsi que la valeur de (p(a)−a|p(a)). c) Conclure. Quatrième partie On souhaite maintenant démontrer que tout cône à faces est l’intersection d’une famille ﬁnie de demi-espaces fermés (on appelle demi-espace fermé tout sous-ensemble de E de la forme {a}+ avec a ∈E, a ̸= 0). 12 7. Démontrer l’équivalence des conditions suivantes relatives à un cône à faces C : (α) le sous-espace vectoriel de E engendré par C est égal à E ; (β) l’intérieur de C est non vide. 8. On suppose dans cette question les conditions de la question 7. satisfaites pour un cône à faces C. a) Démontrer l’équivalence des conditions suivantes relatives à un élément x de C : (α’) x est un point frontière de C ; (β’) x appartient à une face de C distincte de C. b) Que subsisterait-il de ce résultat si l’on ne supposait pas satisfaites les conditions de la question 7. ? c) Soit x un point de E n’appartenant pas à C. Construire une face F de C, distincte de C et ayant la propriété suivante : pour tout w ∈C+ tel que F = C ∩{w}⊥, on a (x|w) < 0. [On pourra considérer le segment de droite joignant x à un point x0 de l’intérieur de C]. 9.a) Montrer que l’ensemble des faces d’un cône à faces est ﬁni. b) Montrer que tout cône à faces est l’intersection d’une famille ﬁnie de demi-espaces fermés. 10. Déduire de ce qui précède que, si C est un cône à faces, il en est de même de C+. ∗ ∗ ∗ 13 uploads/s3/ deuxieme-composition-de-mathematiques-concours-d-x27-admission-2000.pdf