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1 2.1 Introduction Soit un espace de probabilité (, , P) associé à une expéri

1 2.1 Introduction Soit un espace de probabilité (, , P) associé à une expérience aléatoire envisagée. Ce triplet n’est en général pas formé d’éléments réels et ne se prête donc pas à des calculs. Pour remédier à cet inconvénient, on lui associé un espace probabilisé dont tous les éléments sont réels grâce à l’introduction de la notion de variable aléatoire réelle. 2 2.2 Généralités sur les variables aléatoires Soit (, , P) un espace de probabilité et un corps des nombres. Définition: On dit qu’une application X :   X() telle que á chaque événement élémentaire fait correspondre un nombre réel, est une variable aléatoire si, pour tout nombre réel x, A={| X()x } , c’est à dire A est un événement. 3 Remarques : Afin de simplifier l’écriture, nous noterons pour la suite {| X()x }={Xx}. (Aucun risque de confusion n’est d’ailleurs à craindre : X désigne une fonction et x un réel !) L’ensemble des valeurs prise par X, noté X(), est appelé univers image. 4 Exemples: 1) On jette deux dés distincts et on s’intéresse à la somme des points. On note X cette variable aléatoire, elle est définie par X :    (1, 2) 1+ 2 avec = {(1,1) , (1,2), …, (6,5), (6,6)} tel que: (X x )={(1, 2)/ 1+ 2 x } , x . L’ensemble des valeurs possibles prises par X est X()={2, 3, . . . , 12}. 2) On observe deux bactéries et on s’intéresse à la durée de vie T de la bactérie qui disparaîtra la première. L’ensemble fondamental (univers) =[0,+[×[0,+ [. La variable aléatoire T s’écrit alors T :    (1, 2)  inf{1, 2} tel que: (Tx )={(1, 2)/ inf{1, 2} x } ,  x . L’ensemble des valeurs possibles prises par T est T() = [0,+[. 2.3 Propriétés: 1) Puisque A est un événement, il a une probabilité bien définie, et par conséquent, nous pouvons obtenir la probabilité que le variable aléatoire prend des valeurs inférieures à un x donné : P(A)=P(X≤x) 7 2) On peut aussi obtenir la probabilité qu'une variable aléatoire prend des valeurs dans un intervalle P(a<X≤b)=P(X ≤b)P(X ≤a) Puisque (a<X≤b)={|a<X()b}={|X()b}{| X()a} est aussi un événement. 3) La loi de probabilité aussi appelée distribution de probabilité et notée PX d'une variable aléatoire X a pour but de décrire quelles sont les valeurs possibles prises par la variable X et avec quelle probabilité ces différentes valeurs sont prises. Elle est définie comme suite : 9 Définition: On appelle loi (de probabilité) de X, la fonction: PX :   [0, 1] A  P(X A) Autrement dit PX est la mesure image de P par X. Autrement dit, est la mesure image de par 2.4 Fonction de répartition: Une variable aléatoire est entièrement caractérisée par sa distribution de probabilité PX ou de manière équivalente par sa fonction de répartition notée F. Définition : La fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle X est la fonction définie par: F :   [0, 1] x  P(X < x) (Remarque: On peut aussi définir F par :F(x) = P(X x),x) 11 Propriétés: 1) 0≤F(x) ≤1, x  3) F est monotone croissante si : xy F(x) F(y) 4) P(x < X y)=F(y)F(x) 5) F est continue à droite en tout point x de : c. à. d ା Variables aléatoires discrètes Définition: Soit un univers et une probabilité sur . On appelle variable aléatoire discrète toute application X de dans une partie finie ou dénombrable de : X :   X() avec X() fini (i.e. X() ={a1, ..., an}) ou dénombrable (i.e. X() = {a1, ..., an, ...}). Exemple: Si est l’ensemble des étudiants d’une classe, on peut à chaque étudiant  associer le nombre X() de ses frères et sœurs. X est alors une fonction à valeur dans un ensemble fini (finitude imposée par la nature) : X est une variable aléatoire discrète. Loi de probabilité: Définition: Etant donnée une variable aléatoire X telle que X()={a1, ..., an}, on appelle loi de probabilité ou distribution de probabilité de X une expression des probabilités : pi=(X=ai), i=1,…,n. Remarques: 1) Les probabilités pi trouvées vérifient alors : 2) Cette définition s’étend bien sûr au cas d’une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble infini dénombrable. Dans la suite, on se limite au cas des variables aléatoires discrètes à valeurs dans un ensemble fini. Les notions et propriétés étudiées s’étendent bien sûr au cas des variables aléatoires discrètes à valeurs dans un ensemble dénombrable infini. Exemple: On lance deux pièces de monnaie. L’univers  comprend 4 événements élémentaires notés PP; PF; FP; FF, de probabilité chacun 1/4. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de piles obtenus. X prend les valeurs 0; 1; 2, (X=0)=1/4, (X=1)=1/2 et (X=2)=1/4 X(w)=a 0 1 2 Total (X=a) 1/4 1/2 1/4 1 On représente souvent la loi de probabilité à l’aide d’un tableau : Fonction de répartition (Cas discret) Définition: Soit X une variable aléatoire discrète sur  telle que X()={a1,...,an} avec a1<a2<...<an. On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie par : F :  [0, 1] x P(X x) telle que: 1 1 1 2 1 1 0 si P(X ) si F( ) P(X ) P(X ) si 1 si k k k n x a a a x a x a a a x a x a                                               Remarque: Connaissant la fonction de répartition F d’une variable aléatoire discrète X on peut retrouver la distribution de probabilité de X : j j-1 i j j-1 i=1 i=1 ( ) ( ), j 2 j i p p p F a F a      Exemple: Si l’on considère la constitution d’une fratrie de deux enfants, l’univers est constitué des évènements élémentaires suivants : = {GG, GF, FG, FF} Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire X=«nombres de filles dans la famille» sont : X()={0,1,2}. Si l’on fait l’hypothèse que la probabilité d’avoir un garçon est égale à celle d’avoir une fille (1/2), alors la distribution de probabilité ou loi de probabilité du nombre de filles dans une fratrie de deux enfants est : Univers  Univers image X() Probabilités associées à la variable X : P(X=ai) ou pi F(x) G et G F et G ou G et F F et F 0 1 2 1/4 1/2 1/4 0 si x < 0 1/4 si 0x <1 3/4 si 1x <2 1 si x 2 La loi de probabilité est les couples suivants : (0, 1/4), (1, 1/2) et (2, 1/4). Remarque: Pour visualiser la distribution de probabilités, on utilise un diagramme en bâtons et une fonction en escalier pour la fonction de répartition. Caractéristiques d’une variable aléatoire discrète La théorie des probabilités vise à évaluer le comportement des variables aléatoires (mode, espérance, variance, Ecart-type,...) étant donnée la distribution de probabilité. a) Le mode: Le mode correspond à une valeur, de X, ayant une probabilité maximale de se réaliser; si m est le mode alors P(X=m) P(X=a) ; a X(). b)Espérance L’espérance de X représente la valeur moyenne prise par X. Elle est notée E(X) et calculée ainsi : E(X)=a1P(X=a1)+a2P(X=a2)+…+anP(X=an)    i i i= 1 E(X ) . P (X ) n a a c) Variance La variance exprime à quel point les valeurs prises par X sont dispersées autour de la moyenne. Une grande variance indique une grande dispersion. A l'inverse, une variance nulle révèle que X est en fait non-aléatoire. On note la variance Var(X) et on la calcule ainsi : 2 2 2 1 1 2 2 n 2 i i i= 1 n 2 2 i i= 1 (X ) ( E (X ) ) P (X ) ( E (X ) ) P (X ) ( E (X ) ) P (X ) soit (X ) ( E (X ) ) P (X . ) P (X ) E (X ) n i n V ar a a a a a a V ar a a a a                    d) Ecart-type : L'écarttype fournit la même information. On le note (X) et on le calcule ainsi : (X ) (X ) V a r   Lois discrètes: a) Loi de Bernoulli Définition: Soit un univers Ω constitué de deux éventualités, S pour succès et E pour échec Ω = {E, S} sur lequel on construit une variable aléatoire discrète, X="nombre de succès" telle que au cours d’une expérience aléatoire, si S est réalisé, X = 1 si E est réalisé, X=0 Définition (suite): On appelle variable de Bernoulli ou uploads/Litterature/ 2-cours-numerique-part-2.pdf