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Annexe générale Rappels mathématiques 1. Dérivées et différentielles 1.1. Notio

Annexe générale Rappels mathématiques 1. Dérivées et différentielles 1.1. Notion de dérivée d’une fonction La notion de dérivée d’une fonction revêt une très grande importance en mathématiques : ses applications sont nombreuses au sein de toutes les sciences à connotation quantitative auxquelles la mathématique financière appartient. Nous allons présenter simplement le concept, d’abord graphiquement et ensuite mathématiquement. Nous donnerons ensuite quelques exemples numériques. La notion de dérivée d’une fonction en un point A (x0 ; f(x0)) est associée à la variation instantanée de cette fonction en ce point. Admettons que nous soyons en présence d’une fonction y = f(x) et observons la variation de cette fonction, notée f(x0 + Dx) – f(x0) consé- cutive à une variation Dx de la variable indépendante x au point x0. Lorsque x varie de Dx, la fonction f(x) varie de f(x0 + Dx) – f(x0). Si on effectue le rapport entre la variation de f(x) [segment BC] et la variation de x [segment AB], on obtient naturellement la variation moyenne de f(x) sur un espace Dx. Cette variation moyenne, notée VM, s’exprime par la relation (A.1) : VM = f (x0 + ∆x)−f (x0) ∆x = BC AB (A.1) Figure A.4 - Interprétation géométrique de la dérivée de f(x) au point x0. x A B C D f(x) f(x0 + ∆ x) x0 + ∆ x ∆ x α f(x0) x0 2 Mathématiques financières On souhaite obtenir non pas la variation moyenne de la fonction sur un espace Dx, mais la variation instantanée de la fonction f(x) au point x0. À cette fin, il suffit de faire tendre Dx vers 0. Or, faire tendre Dx vers 0 consiste à opérer une rotation de la droite AC autour du point A, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Le segment de droite AC devient donc la tangente AD à la fonction f(x) au point A. On peut définir ainsi le nombre dérivé de la fonction f(x) au point x0, comme la limite de la relation (A.1) lorsque Dx tend vers 0. En d’autres termes, le nombre dérivé de f(x) au point x0, noté f ’(x0), représente la variation instantanée de la fonction f(x) au point x0. Mathématiquement, on peut exprimer f ’(x0) par la relation (A.2) : f '(x0)= Lim ∆x→0 f (x0 + ∆x)−f (x0) ∆x = DB AB = tg α (A.2) À l’examen de la figure A.4 et de la relation (A.2), on observe immédiatement que le nombre dérivé de la fonction f(x) au point x0 n’est rien d’autre que la tangente de l’angle a formé par les segments de droite AD et AB, c’est-à-dire l’angle formé par la parallèle à l’axe des x au point (x0, f(x0)) et la droite tangente à la fonction en ce point (x0, f(x0)). Le signe de la dérivée permet de connaître le comportement d’une fonction au voisinage d’un point : 1. Si la dérivée en un point d’une fonction est positive, la fonction est croissante en ce point. 2. Si la dérivée en un point d’une fonction est négative, la fonction est décroissante en ce point. 3. Si la dérivée en un point d’une fonction est nulle, la fonction est constante ou se trouve en un maximum ou un minimum en ce point. Illustrons ces trois cas par la fonction f(x) et sa dérivée f ’(x) reprise par la figure A.5. 3 Annexe générale – Rappels mathématiques Figure A.5 - Illustration géométrique de f(x) et de sa fonction dérivée f ’(x). f(x) f’(x) x x1 x3 x2 x1 x3 x2 x À la lecture de la figure A.5, on remarque immédiatement que, lorsque la fonction f(x) atteint un maximum (point x1) ou un minimum (point x2), sa fonction dérivée est nulle en ces points. En dérivant une seconde fois f(x) ou une première fois f ’(x), on peut dessi- ner la fonction dérivée seconde de f(x), notée f ’’(x). Le lecteur peut très aisément réaliser cet exercice et vérifier que, au point x1, la dérivée seconde est négative puisque la dérivée première est décroissante tandis que, au point x2, la dérivée seconde est positive puisque la dérivée première est croissante. 1.1.1. Quelques propriétés en conclusion Les conditions nécessaires et suffisantes pour obtenir le maximum ou le minimum d’une fonction en un point sont les suivantes : f(x) atteint un maximum au point x1 si f ’(x1) = 0 f ’’(x1) < 0 f(x) atteint un minimum au point x2 si f ’(x2) = 0 f ’’(x2) > 0 (A.3) 4 Mathématiques financières Une fonction est croissante et marginalement croissante si : f ’(x) > 0 f ’’(x) > 0 (A.4) Une fonction est croissante et marginalement décroissante si : f ’(x) > 0 f ’’(x) < 0 (A.5) Une fonction est dite convexe si : f ’(x) croissante → f ’’(x) > 0 (A.6) Une fonction est dite concave si : f ’(x) decroissante → f ’’(x) < 0 (A.7) 1.1.2. Calcul de la dérivée d’une fonction Cherchons l’expression de la dérivée d’une fonction par application de la relation (A.2). Exemple A.1 Admettons que nous soyons en présence d’une fonction linéaire f(x) = 3x + 2. Cherchons l’expression de sa fonction dérivée : f '(x)= Lim ∆x→0 f (x + ∆x)−f (x) ∆x = Lim ∆x→0 3(x + ∆x)+ 2 ( )−3x + 2 ( ) ∆x = Lim ∆x→0 3x + 3∆x + 2 −3x −2 ∆x = 3 Exemple A.2 Admettons que nous soyons en présence d’une fonction du second degré f(x) = 3x² + 2. Cherchons l’expression de sa fonction dérivée : f '(x)= Lim ∆x→0 f (x + ∆x)−f (x) ∆x = Lim ∆x→0 3(x + ∆x)2 + 2 ( )−3x 2 + 2 ( ) ∆x = Lim ∆x→0 3 x 2 + 2x ∆x + ∆x 2 ( )+ 2 −3x 2 + 2 ( ) ∆x f '(x)= Lim ∆x→0 3x 2 + 6x ∆x + 3∆x 2 + 2 −3x 2 −2 ∆x = Lim ∆x→0 6x ∆x + 3∆x 2 ∆x = Lim ∆x→0 6x + 3∆x ( ) = 6x 5 Annexe générale – Rappels mathématiques 1.1.3. Règles élémentaires de dérivation d’une fonction Soit une fonction f (x)= axb + c. Sa fonction dérivée est : f (x)'= a⋅b⋅xb−1. Soit deux fonctions f(x) et g(x) : • La dérivée de la somme de deux fonctions est : f (x)+ g(x)    '= f (x)'+ g(x)' • La dérivée du produit de deux fonctions est : f (x)⋅g(x)    '= f (x)'⋅g(x)+ f (x)⋅g(x)' • La dérivée du quotient de deux fonctions est : f (x) g(x)      '= f (x)'⋅g(x)−f (x)⋅g(x)' g(x)2 • La dérivée de fonctions composées est : f g(x) ( )'= f'(g(x))⋅g(x)' Voici quelques dérivées de fonctions particulières : • dérivée d’une fonction exponentielle : f (x)= ea⋅g(x) → f (x)'= aea⋅g(x) ⋅g(x)' • dérivée d’une fonction logarithmique : f (x)= ln g(x) ( )→f (x)'= 1 g(x) g(x)' 1.2. Notion de différentielle On a défini la dérivée d’une fonction f(x) au point x comme étant le coefficient directeur de la droite tangente à cette fonction en ce point x. En reprenant la relation (A.2) au point (x, f(x)), on a : f '(x)= Lim ∆x→0 f (x + ∆x)−f (x) ∆x = Lim ∆x→0 ∆f (x) ∆x = tg α À la lecture de la figure A.6 et en considérant le triangle rectangle ADB, on peut définir la différentielle de la fonction f(x) au point x, notée df(x) comme le produit de la dérivée f ’(x) en ce point x par l’accroissement de la variable indépendante Dx : df (x)= f '(x)⋅∆x En posant Dx = dx, on a : df (x)= f '(x)⋅dx (A.8) L’expression (A.8) définit une relation linéaire entre df(x) et dx au point x. L’expression (A.8) s’écrit également : df (x) dx = f '(x) . 6 Mathématiques financières Figure A.6 - Illustration géométrique de la différentielle. f(x) f(x) x x A B D d f(x) α ε f(x + ∆ x) ∆ f(x) ∆ x = dx x + x ∆ Exemple A.1 Soit une fonction f(x) = x². Trouvons la différentielle de cette fonction df(x) et l’accrois- sement de la fonction Df(x) au point x = 10 pour un accroissement Dx = 0,1. Calculons Df(x) au point x = 10 pour Dx = 0,1 : ∆f (x)=(x + ∆x)2 −x 2 =(10+ 0,1)2 −102 = 2,01 Calculons df(x) au point x = 10 pour Dx = dx = 0,1 : df (x)= f '(x)⋅dx = 2x ⋅0,1= 2×10× 0,1= 2 On constate que l’erreur commise, notée e (voir figure A.6), en remplaçant Df(x) par df(x) est égale à 0,01. Cette erreur est due au fait que le calcul de la différentielle df(x) consiste à se déplacer sur la tangente à la fonction au point x au lieu de se déplacer sur la fonction étudiée. L’erreur commise de 0,01 par rapport à Df(x) = 2,01 peut être considérée comme négligeable. 1.3. Notion de dérivée partielle On peut uploads/Litterature/ f0176-annexe-rappel-mathematiques.pdf