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Lycée Pilote de Tunis 4ème Année Math 1-7 DEVOIR DE SYNTHÈSE N°2 MARS 2014 Duré

Lycée Pilote de Tunis 4ème Année Math 1-7 DEVOIR DE SYNTHÈSE N°2 MARS 2014 Durée : 4 heures EXERCICE N°1 (3points) Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse. 1.Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Si p est un nombre premier alors p p p (a+b) a +b (mod p)  2. 2 x 0 ln(x 1 x ) lim 0 x     3. Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct  v , u , o . On considère la fonction f qui à tout M d’affixe z associe M’ d’affixe z’ défini par : z'=-2iz+2+i f est une similitude indirecte de centre W d’affixe i et d’axe ∆ d’équation :y=-x+1. EXERCICEN°2 :(6 points) On considère la fonction f définie par : f(x) = x.ln(1+x2) . Et on désigne par Cf la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (o,i ,j) r r 1. Dresser le tableau de variation de f . 2 . a. Résoudre dans R l’équation f(x)=x b. Etudier les positions relatives de Cf et la droite D :y = x . 3. a. Montrer que f admet une fonction réciproque f-1 b. T racer Cf et Cf -1 (On précisera la tangente à Cf au point d’abscisse 0. 4. a. Vérifier que pour tout réel x on a : 3 2 2 x x x 1 x 1 x     b. En déduire la valeur de 3 e 1 2 0 x dx 1 x    c. Calculer l’aire de la partie du plan limitée par les droites d’équations x=0, x e 1   et les courbes Cf et Cf -1. b. En déduire la valeur de e 1 1 0 f (x)dx    . 5.On pose t e 1 n 1 n 0 I f(t)e dt    ou n un entier naturel a. Montrer que pour tout entier naturel n : n I 0  b. Prouver que (In) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente. c. Montrer que pour tout réel t de t 2 n 1 n 1 0, e 1 : f (t) f (t).e f (t).e          d. Montrer que n n 1 lim I 2   EXRCICE N°3 :(5 points) 1. a. Déterminer deux entiers relatifs x et y tels que : 22x+39y=1 b. En déduire un couple (u0,v0)solution particulière de l’équation E :22u+39v=553 c. Donner la solution générale de E 2. Soit l’équation (E’) d’inconnue rationnelle x : 78x3+ux2+vx-22=0 où u et v sont des entiers relatifs. On suppose que 22 39 est solution de (E’) . a. Prouver que les entiers relatifs u et v sont liés par la relation : 22u+39v=553 b. Déterminer parmi les couples (u,v) précédents, celui pour lequel le nombre u est l’entier naturel le plus petit possible. 3. Soit p q une solution rationnelle de l’équation (E’) a. Montrer que si p q 1  alors p divise 22 et q divise 78. b. En déduire le nombre de rationnels pouvant être solution de (E’) et écrire , parmi ces rationnels, l’ensemble de ceux qui sont positifs EXERCICE N°4 :(6points) Le plan P est muni d’un repère orthonormé   j , i , o Soit la courbe d’équation :x2-3y2+8x+12y+16=0 1.Démontrer que est une conique dont on précisera les éléments caractéristiques . 2.Ecrire l’équation de la tangente T à en A(2,6). 3.Soit D la droite d’équation y-3=0 On désigne par d(M,D) la distance du point M à la droite D. Soit F le point de coordonnées (-4,6) . a. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan P tels que : MF=2d(M,D). b. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan P tels que : d(M,D) =2MF uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-maison-4m4.pdf