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http://al9ahira.com/ Itinéraire d'accès à Al9ahira (point B sur la carte) en partant de la Place Ibéria page de garde المملكة المغربية ROYAUME DU MAROC Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Formation des Cadres Présidence du Concours National Commun École Mohammadia d'Ingénieurs CONCOURS NATIONAL COMMUN d'admission dans les Établissements de Formation d'Ingénieurs et Établissements Assimilés Session 2014 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES II Filière MP Durée 4 heures Cette épreuve comporte 03 pages au format A4, en plus de cette page de garde L'usage de calculatrice n’est pas autorisé Concours National Commun – Session 2014 – Filière MP L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 3 pages. L’usage de la calculatrice est interdit. Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Le sujet de cette épreuve est composé d’un exercice et d’un problème indépendants entre eux. Exercice Soit n un entier ⩾2 ; si p ∈N∗, on note Mn,p(R) l’espace vectoriel des matrices à coefficients réels, à n lignes et p colonnes. Si p = n, Mn,p(R) est noté simplement Mn(R), c’est l’algèbre des matrices carrées réelles d’ordre n. Si M ∈Mn,p(R), tM désigne la matrice transposée de M. On rappelle ce qui suit : – Si M ∈Mn,p(R), tM ∈Mp,n(R) et t(tM) = M. – Une matrice M ∈Mn(R) est dite symétrique si tM = M (M coïncide avec sa matrice transposée). – Une matrice symétrique M ∈Mn(R) est dite positive si tXMX ⩾0 pour tout X ∈Mn,1(R). – Le produit scalaire canonique de Mn,1(R) est noté <, > ; il est défini par (X, Y ) 7→<X, Y >= tXY . Dans tout l’exercice, A = (ai,j)1⩽i,j⩽n ∈Mn(R) désigne une matrice symétrique et positive. 1. Montrer que les valeurs propres de A sont positives. 2. Montrer qu’il existe une matrice M = (mi,j)1⩽i,j⩽n ∈Mn(R) telle que A = tMM. On pourra réduire convenablement la matrice A. Dans la suite de l’exercice, une telle matrice M est choisie ; on note C1, ..., Cn ses colonnes. 3. (a) Montrer que, pour tout X ∈Mn,1(R), AX = 0 si, et seulement si, MX = 0. (b) En déduire que les matrices A et M ont le même rang. 4. (a) Montrer que, pour tout couple (i, i) d’éléments de {1, ..., n}, ai,j =<Ci , Cj >= tCiCj. (b) En déduire que, pour tout couple (i, i) d’éléments de {1, ..., n}, a2 i,j ⩽ai,i aj,j. 5. Montrer que la matrice A est de rang 1 si, et seulement si, a2 i,j = ai,i aj,j pour tout couple (i, j) d’éléments de {1, ..., n}. 6. Dans cette question, on suppose que les coefficients de A sont tous non nuls et on considère la matrice B = (bi,j)1⩽i,j⩽n ∈Mn(R) dont les coefficients sont définis par bi,j = 1 ai,j , pour tout (i, j) ∈{1, ..., n}2. Il est clair que B est une matrice symétrique de Mn(R). (a) Montrer que si la matrice B est positive alors A est de rang 1. (b) On suppose ici que la matrice A est de rang 1. Montrer qu’il existe U ∈Mn,1(R)\{0} tel que A = U tU puis en déduire que la matrice B est positive. Al9ahira Problème Sous-espaces de M2(R) formés de matrices diagonalisables Dans ce problème, M2(K) désigne l’algèbre des matrices carrée d’ordre 2 à coefficients dans K = R ou C, et GL2(K) le groupe des matrices inversibles de M2(K). Une matrice A ∈M2(K) est dite scalaire si elle est de la forme A = λ I2, où λ ∈K et I2 la matrice identité de M2(K). Les trois parties du problème s’enchaînent entre elles. Dans la première partie, on étudie une carac- térisation des homothéties et on applique le résultat obtenu pour déterminer le commutant d’un endo- morphisme ou d’une matrice en dimension 2 ; la seconde partie porte sur la diagonalisation simultanée de matrices et aboutit à l’étude, pour deux matrices diagonalisables A et B de M2(K), du lien entre le fait d’être commutables et le fait que A + λ B soit diagonalisable pour tout λ ∈K. La dernière partie est consacrée à l’étude des sous-espaces vectoriels de M2(K) formés de matrices diagonalisables. Épreuve de Mathématiques II 1/3 http: // al9ahira. com/ Concours National Commun – Session 2014 – Filière MP 1ère Partie Caractérisation des homothéties en dimension 2 Application au commutant E désigne un espace vectoriel de dimension 2 et L(E) l’algèbre des endomorphismes de E. Si f ∈L(E), on note C(f) l’ensemble des endomorphismes de E qui commutent avec f : C(f) = {g ∈L(E) ; fg = gf}. 1.1. Soit f ∈L(E) tel que, pour tout x ∈E, la famille (x, f(x)) est liée. 1.1.1. Montrer que, pour tout x ∈E\{0E}, il existe un unique λx ∈K tel que f(x) = λxx. 1.1.2. Soit (e1, e2) une base de E ; montrer que λe1 = λe2. 1.1.3. On pose λ = λe1 = λe2. Montrer que f = λ idE (homothétie de rapport λ). 1.2. Soit f un endomorphisme de E. 1.2.1. Montrer que C(f) est un sous-espace vectoriel de L(E). 1.2.2. Déterminer C(f) si f est une homothétie. 1.3. Soit f un endomorphisme de E qui n’est pas une homothétie. 1.3.1. Justifier qu’il existe e ∈E tel que la famille (e, f(e)) soit une base de E. 1.3.2. Si g ∈L(E), justifier qu’il existe un unique couple (α, β) ∈K2 tel que g(e) = α e + βf(e) et montrer que g ∈C(f) si, et seulement si, g = α idE + βf. 1.3.3. Préciser C(f) ; quelle est sa dimension ? 1.4. Traduction matricielle : Soit A ∈M2(K) ; on pose C(A) = {M ∈M2(K) ; AM = MA}. 1.4.1. Si A est une matrice scalaire, déterminer C(A). 1.4.2. Si A n’est pas une matrice scalaire, montrer que C(A) = Vect(I2, A) ; quelle est sa dimension ? Al9ahira 2ème Partie Diagonalisation simultanée dans M2(K) 2.1. Pour quels triplets (a, b, c) ∈K3 la matrice A = a b 0 c  est-elle diagonalisable dans M2(K) ? 2.2. Donner alors un exemple de matrice de M2(K) qui n’est pas diagonalisable dans M2(K). 2.3. Soit A ∈M2(K) et λ ∈K ; montrer que la matrice A est diagonalisable dans M2(K) si, et seulement si, la matrice A + λ I2 l’est aussi. 2.4. Soient A et B deux matrices diagonalisables de M2(K) telles que AB = BA. 2.4.1. Montrer que les matrices A et B sont simultanément diagonalisables dans M2(K), c’est-à-dire qu’il existe P ∈GL2(K) telle que les matrices PAP −1 et PBP −1 soient diagonales. On pourra remarquer que B ∈C(A) et traiter à part le cas où A est une matrice scalaire. 2.4.2. Montrer que, pour tout λ ∈K, la matrice A + λ B est diagonalisable dans M2(K). 2.5. Familles de matrices diagonalisables 2.5.1. Soient (Ai)i∈I une famille de matrices diagonalisables de M2(K). On suppose en outre que ces matrices commutent deux à deux : ∀(i, j) ∈I2, AiAj = AjAi. Montrer que les matrices Ai, i ∈I, sont simultanément diagonalisables dans M2(K), c’est-à-dire qu’il existe P ∈GL2(K) telle que, pour tout i ∈I, la matrice PAiP −1 soit diagonale. On pourra traiter à part le cas où toutes ces matrices sont scalaires. 2.5.2. Soit m ∈N∗. Montrer que si A1, ..., Am sont des matrices involutives de M2(K) qui commutent deux à deux, alors m ⩽4. On rappelle que M ∈M2(K) est dite involutive si M2 = I2. 2.6. On considère les matrices J = 0 0 0 1  et K = a 1 1 d  , où a et d sont des nombres réels. 2.6.1. Montrer que, pour tout λ ∈R, la matrice J + λ K est diagonalisable dans M2(R). 2.6.2. Est-ce que les matrices J et K commutent entre elles ? 2.7. On se place dans le cas complexe et on se donne deux matrices A et B diagonalisables dans Mn(C) telles que, pour tout λ ∈C, la matrice A + λ B soit diagonalisable dans M2(C). On suppose que B n’est pas une matrice scalaire. Épreuve de Mathématiques II 2/3 http: // al9ahira. com/ Concours National Commun – Session 2014 – Filière MP 2.7.1. Montrer qu’il existe P ∈GL2(C) et deux complexes distincts α et β tels que B = P α 0 0 β  P −1. Dans la suite, on pose γ = β −α et P −1AP = a b c d  . Pour tout λ ∈C, on note χλ le polynôme caractéristique de la matrice A + λ(B −αI2) et δλ le discriminant de χλ. 2.7.2. Calculer δλ uploads/Ingenierie_Lourd/ math2-mp-2014e.pdf

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Ingénierie matrice matrices montrer qu’il existe
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