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1 I/ INTRODUCTION AUX PLANS D'EXPERIENCES 1/ Intérêts des plans d'expériences L

1 I/ INTRODUCTION AUX PLANS D'EXPERIENCES 1/ Intérêts des plans d'expériences Les plans d'expériences sont utilisés dans les études industrielles en recherche-développement. Ils interviennent dans de nombreux domaines industriels. On peut notamment citer : • industries chimiques, pétrochimiques et pharmaceutiques • industries mécaniques et automobiles • industries métallurgiques Leur utilisation vise aux buts suivants : • détermination des facteurs clés dans la conception d'un nouveau produit ou d'un nouveau procédé • optimisation des réglages d'un procédé de fabrication ou d'un d'appareil de mesure • prédiction par modélisation du comportement d'un procédé Les plans d'expériences s'inscrivent dans une démarche générale d'amélioration de la qualité. Le succès de la démarche originale des plans d'expériences réside dans la possibilité d'interprétation de résultats expérimentaux avec un effort minimal sur le plan expérimental : la minimisation du nombre nécessaire d'expériences permet un gain en temps et en coût financier. Il faut néanmoins comprendre que les plans d'expériences ne sont pas un outil destiné a priori à la recherche fondamentale car ils ne permettront jamais une explication du phénomène physico-chimique étudié. Avertissements : 1/ Les cours de plans d'expériences décrivent quelles sont les expériences à réaliser ainsi que l'exploitation des résultats. Par contre ils n'insistent que peu sur le choix des facteurs expérimentaux, le domaine expérimental et les soins à apporter dans la conduite des essais. Il ne faudrait donc pas oublier à la fin de ce cours que la réussite du projet nécessite un investissement en temps important avant de passer à l'application proprement dite de la méthodologie des plans d'expériences. 2/ les calculs peuvent paraître parfois pénibles à réaliser, ils constituent en fait une étape nécessaire pour la compréhension de la méthodologie ; une fois cette phase maîtrisée, de nombreux logiciels peuvent venir en aide et exécuter les calculs. COUR DE PLANS D'EXPERIENCES 2 3/ Dans ce cours on se limitera à la présentation des plans factoriels complets et fractionnaires à deux niveaux. Les plans de mélange, les plans de surface de réponse et les plans de Taguchi ne seront pas traités. 2/ Vocabulaire de base des plans d'expérience Le scientifique est souvent amené à comprendre comment réagit un système en fonction des facteurs susceptibles de le modifier. Pour visualiser cette évolution, il mesure une réponse et va ensuite essayer d'établir des relations de cause à effet entre les réponses et les facteurs. Parmi les facteurs on distinguera: • les facteurs contrôlables qui dépendent directement du choix du technicien (pression, température, matériau …) • les facteurs non contrôlables qui varient indépendamment du choix du technicien (conditions climatiques, environnement d'utilisation…) • les facteurs d'entrée dont on cherche à analyser une influence (matière première, vitesse d'agitation, température, rendement …) Les facteurs étudiés dans un plan d'expériences sont bien entendu les facteurs d'entrée. Un facteur est une grandeur le plus souvent mesurable mais il peut s'agir d'une grandeur qualitative comme les différents lots d'une matière première. La réponse est la grandeur mesurée à chaque essai; le plan vise à déterminer quels facteurs l'influencent ou quelle est son évolution en fonction de ceux-ci. Cette grandeur est le plus souvent mesurable mais elle peut également être qualitative. Dans ce cas ce peut être par exemple une appréciation visuelle sur l'état d'une surface ou une appréciation bon, moyen ou mauvais sur un produit alimentaire. Une notion importante est celle d'interaction entre deux facteurs d'entrée. On parle d'interaction entre deux facteurs A et B quand l'effet du facteur A sur la réponse va dépendre de la valeur du facteur B. On peut citer deux exemples : SYSTEME facteurs non contrôlables facteurs contrôlables facteurs d'entrée réponses 3 • une étude sur l'usure des pneus (réponse) montre une interaction entre la vitesse et la pression de gonflage (facteurs) • une étude sur la somnolence a montré une interaction entre la quantité d'alcool ingéré et la quantité d'un médicament particulier absorbé. Le graphique suivant montre les valeurs de la somnolence mesurée en unité arbitraire de 0 à 10 en fonction des deux autres facteurs mesurés également avec des unités arbitraires. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 médicament absorbé (u.a.) somnolence (u.a.) alcool ingéré : 2 u.a. alcool ingéré : 6 u.a. On note une forte interaction en remarquant que l'augmentation de somnolence est beaucoup plus forte si la quantité d'alcool ingéré est plus importante. L'effet du médicament dépend donc de la quantité d'alcool ingéré. 3/ Etapes d'une étude par plans d'expériences 3-a / Détermination de la réponse et des facteurs d'étude L'étude doit avant tout avoir un but précis: minimiser un coût de fabrication, chercher les paramètres influents ... A ce niveau, il est important de rassembler l'ensemble des personnes ayant à titre divers une connaissance du sujet : l'ingénieur de production, le responsable du laboratoire d'analyses, le technicien en charge de la fabrication , l'opérateur de fabrication … Tous peuvent fournir une information essentielle pour les questions suivantes : • choix de la réponse la plus judicieuse • moyens de mesure adaptés • facteurs potentiellement influents • choix du domaine d'étude de ces facteurs • éventuelles interactions à rechercher • contrôle des facteurs non étudiés 4 La connaissance du sujet acquise auparavant dans l'entreprise peut rendre de grands services à cette étape. Le résultat final peut avoir des conséquences catastrophiques pour l'entreprise si un facteur oublié se trouve être un facteur d'influence. Une difficulté importante est la détermination du domaine d'étude. Le domaine de variation des facteurs doit permettre de couvrir le domaine réel d'utilisation des facteurs… mais pas plus. Il est ainsi inutile d'avoir des informations pour une substance à une concentration qu'elle n'est pas autorisée à atteindre à cause de contraintes environnementales. Ainsi le domaine ne doit pas être trop large … mais à l'inverse pas trop étroit si on cherche à déterminer une influence possible. Dans ce dernier cas des limites trop étroites risque de "noyer" une influence dans le "bruit" de l'erreur aléatoire due aux incertitudes de mesure. 3-b / Choix d'un modèle Les plans d'expériences dits factoriels utilisent tous le modèle mathématique suivant qui relient la réponse y aux facteurs x1, x2, …xi …xn. Ce modèle théorique est postulé a priori. Il s'agit d'un modèle polynomial. ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ∑ ∑ ≠ ≠ = ≠ = k j n k j i 1 k , j , i i k ij j n j i 1 j , i i ij n n 2 2 1 1 0 x x x a x x a x a x a x a a y où a0, a1 … sont les coefficients du polynôme. Les termes produits de type par exemple j i ij x x a ⋅ ⋅ correspondent aux interactions. Pour un plan factoriel à 3 facteurs x1, x2 et x3, on obtient : 3 2 1 123 3 2 23 3 1 13 2 1 12 3 3 2 2 1 1 0 x x x a x x a x x a x x a x a x a x a a y ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = 3-c / Choix des expériences à réaliser La méthode des plans d'expérience peut être sommairement comparée à la méthodologie traditionnelle dite de "variation facteur par facteur" Pour étudier l'influence de deux facteurs sur une réponse, on peut adopter deux stratégies expérimentales pour la conception des essais. 5 Selon la méthode traditionnelle, on bloque le facteur A au centre du domaine de variation et on fait varier le facteur B aux deux extrémités de son domaine: on obtient les mesures M1 et M2. Avec le facteur A on réalise la même opération pour obtenir les points M3 et M4. Dans cette méthode, l'effet de B sera mesuré à partir des mesures M1 et M2 et celui de A à partir des mesures M3 et M4. Donc pour chaque facteur la moitié des mesures seulement est utilisée pour rendre compte d'un effet. La méthode des plans d'expériences consistera à réaliser 4 essais aux extrémités du domaine expérimental. L'effet de A apparaît comme la différence entre la moyenne (Y2+Y4)/2 et la moyenne (Y1+Y3)/2. Le même raisonnement s'applique pour l'effet de B. Remarque : l'effet de A peut être décrit autrement en écrivant l'expression sous la forme suivante : 2 Y Y 2 Y Y 2 Y Y 2 Y Y A de Effet 1 2 3 4 3 1 4 2 − + − = + − + = Le terme 2 Y Y 3 4 − est le demi effet de A quand B est au niveau haut (c'est-à-dire la demi variation de la réponse quand A passe du niveau bas A1 au niveau haut A2). De même le terme 2 Y Y 1 2 − est le demi effet de A quand B est au niveau bas. Dans cette deuxième stratégie toutes les uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-plans-experiences-pdf.pdf