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1 http://laroche.lycee.free.fr Loi Binomiale 7.3. Exercices de base 7.3.1. Grai

1 http://laroche.lycee.free.fr Loi Binomiale 7.3. Exercices de base 7.3.1. Graines 1. Le nombre de graines qui germent suit une loi binomiale ( ) 8 ; 0,8 B . a. ( ) 5 3 8 5 0,8 0,2 0,147 5 X   = = ≈     P . b. ( ) 7 1 8 0 8 8 7 0,8 0,2 0,8 0,2 0,503 7 8 X     ≥ = + ≈         P . 2. a. ( ) germe et pas détruite 0,8 0,5 0,4 = × = P . b. Y, le nombre de plans bons à repiquer suit ( ) ; 0,4 n B où n est inconnu. On cherche n pour que ( ) 1 0,99 Y ≥ ≥ P , soit ( ) ( ) 1 0 0,99 0 0,01 0,6 0,01 n Y Y − = ≥ ⇔ = ≤ ⇔ ≤ P P . À la machine on trouve 9 n > , soit 10 n ≥ . 7.3.2. Sécu 1. a. Il y a 0,88 0,17 0,1496 × = des personnes qui ont moins de 70 ans et qui sont vaccinées ; il y a 0,12 0,75 0,09 × = des personnes qui ont plus de 70 ans et qui sont vaccinées, soit un total de 0,2396, soit environ 24% des gens sont vaccinés. b. Le pourcentage de moins de 70 ans parmi les vaccinés est alors de 0,1496 0,62 0,2396 = , soit 62 %. 2. Les nombre de personnes vaccinées parmi les 10 suit une ( ) 10 ; 0,62 B . ( ) 3 7 10 3 0,62 0,38 0,033 3 X   = = ≈     P . 7.3.3.Urnes 1. Pour avoir 8 X Y + ≥ il faut avoir 2 et 6 ou 4 et 5 ou 4 et 6, soit 3 3 4 2 4 3 29 8 6 48 × + × + × = × . 2. Z suit 29 10, 48       B : ( ) 29 10 6 48 Z = × ≈ E . 7.3.4.Petits exercices à déguster sereinement 1. 1 9, 2       B ; 2/3 de 9 = 6 ; ( ) ( ) 6 1 5 0,254 X X ≥ = − ≤ ≈ P P en utilisant la calculatrice (inutile de faire ces calculs compliqués à la main…) 2. X= nombre de noires tirées ; 1 6, 3       B ; ( ) 2 0,329 X = ≈ P . 3. X = nombre de « 6 » obtenus ; 1 5, 6       B ; ( ) ( ) 2 1 1 0,196 X X ≥ = − ≤ ≈ P P . 4. X = nombre de filles dans la famille ; 1 , 2 n       B ; 2 http://laroche.lycee.free.fr Si n est pair, 2 n m = et on cherche ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 m m k m k m k m k m m m X m k k − = + = +        > = =               ∑ ∑ P ; on peut tracer la courbe des probas en fonction de n : U=Séquence[(n,1-Binomiale[n,0.5,floor(n/2),True]),n,0,100] Si n est impair c’est semblable, sauf que ça semble constant et valoir 1/2 : ce qui semble normal (réfléchissez)… 5. Avec 4 parties on a ( ) 4, p B et ( ) ( ) ( ) 3 4 3 4 3 4 4 4 3 1 4 1 4 3 3 4 X p p p p p p p p     ≥ = − + = − + = −         P ; avec 8 parties on a ( ) 8, p B et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 5 6 7 8 3 2 5 6 7 8 3 2 5 2 3 5 2 3 8 8 8 8 5 1 1 1 5 6 7 8 56 1 28 1 8 1 56 1 28 1 8 1 56 140 120 35 . Y p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p         ≥ = − + − + − + =                 = − + − + − +     = − + − + − + = − + −     P Il reste à trouver le signe de [ ] ( ) 5 2 3 3 56 140 120 35 4 3 p p p p p p f p   − + − − − =   , ce que l’on obtient graphiquement. On voit donc que ( ) ( ) 5 3 Y X ≥ ≥ ≥ P P pour 0,41 p ≥ environ. 6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,1 1 1 , , n k n k n n k k n n b n k n p p p p p b n p k n k k − − − −     − − = − = − =     −     car n n n k k     =     −     : propriété de symétrie des coefficients binomiaux. 3 http://laroche.lycee.free.fr 7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 n n R p X X X p np p − = > = − = + = = − − − −     P P P , soit avec 10 n = : ( ) ( ) ( ) ( ) 10 9 1 1 1 10 1 R p X p p p = > = − − − − P . p 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 ( ) R p 0 0,264 0,624 0,851 0,954 0,989 Il vaut mieux éviter les déchets… 7.4. Exercices intermédiaires 7.4.1.Rhésus 1. a. 0,45 b. 0,45 0,2 0,09 × = . c. 0,4 0,18 0,1 0,19 0,05 0,17 0,45 0,2 0,1895 × + × + × + × = . 2. a. X suit ( ) 5 ; 0,09 B . b. ( ) 5 0,09 0,45 X = × = E . 7.4.2. Étude de marché Un tableau pour résumer : moins de 12 tonnes de 12 à 20 tonnes plus de 20 tonnes Total Solvables 0,35 0,8 0,28 × = 0,4 0,85 0,34 × = 0,225 0,845 Insolvables 0,07 0,06 0,025 0,155 Total 0,35 0,40 0,25 1 1. a. 0,25. b. 0,155 2. a. X suit ( ) 20 ; 0,845 B . ( ) 20 0,845 16,9 X = × = E . b. ( ) ( ) 11 4 1 3 1 1,22 10 1 X X − ≥ = − ≤ = − × ≈ P P . 7.4.3. Rangements Le nombre total de possibilités de rangement est n! 1. Supposons que A est en premier, B est derrière, il reste ( ) −2 ! n répartitions possibles. Comme A peut être placé n’importe où dans la file avec B derrière lui, il y a ( ) −1 n places possibles pour A et donc la probabilité ( ) − = 1 ! 1 ! n n n d’avoir A suivi de B ; c’est pareil pour B suivi de A, soit la probabilité finale 2 n . 2. Même raisonnement ; au pire B est en dernier et A r places devant ; on peut placer A de − n r manières, la probabilité finale est alors ( )( ) ( ) ( ) − − − = − 2 ! 2 2 ! 1 n r n n r n n n . 7.4.5. Loterie binomiale Partie A 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 9 1 7 G B 6 N 6 10 6 10 6 30 dé dé = × < + × = = × + × = P P P P P . 2. ( ) ( ) ( ) 1 1 Blanc et Perdu 1 30 1 10 6 Blanc et Perdu parmi les Perdu 23 P uploads/Industriel/ 07-1s-probas2-corrige.pdf