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1 Un sac contient quatre jetons marqués 0, 1, 2, 3. On tire deux jetons l’un ap

1 Un sac contient quatre jetons marqués 0, 1, 2, 3. On tire deux jetons l’un après l’autre sans remise. 1°) Faire un arbre de possibilités. 2°) On note X la différence entre le plus grand et le plus petit des deux nombres tirés. Déterminer la loi de probabilité de X en tableau. 2 On lance une pièce non truquée trois fois de suite. On note les résultats dans l’ordre d’apparition. 1°) Faire un arbre de possibilités. 2°) On note X le nombre de piles à l’issue des trois lancers. Déterminer la loi de probabilité de X en tableau. 3°) Calculer  X E ,  X V et  X  . 3 On lance un dé non pipé. On gagne 1 € si le 1 apparaît et 6 € si le 6 apparaît ; on perd 2 € dans tous les autres cas. On note X le gain algébrique en euros lors d’un lancer. 1°) Déterminer la loi de probabilité de X en tableau. 2°) Calculer  X E ,  X V et  X  . 4 Une urne contient trois boules vertes, deux boules rouges et une boule noire. On tire au hasard successivement et avec remise deux boules de l’urne. On note la couleur de chaque boule tirée. 1°) A l’aide d’un tableau ou d’un arbre, déterminer toutes les issues de l’expérience. 2°) On considère les événements A et B définis ci-après. A : « La première boules tirée est verte » ; B : « La première boule tirée est noire ». a) Calculer la probabilité de A et celle de B. b) Calculer la probabilité de l’événement A  B. 3°) Les boules vertes portent le numéro 0, les rouges le numéro 5 et la noire le numéro a avec a différent de 0, 5 et 10. La variable aléatoire X associe à chaque issue la somme des numéros sortis. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Déterminer la loi de probabilité de X. c) Exprimer l’espérance de X en fonction de a. 5 Dans un jeu de trente-deux cartes, constitué de 4 as, 4 rois, 4 dames, 4 valets, 4 dix, 4 neuf, 4 huit, 4 sept, on associe à chaque carte une valeur en euros suivant le tableau ci-dessous : Carte As Roi Dame Valet Dix Neuf Huit Sept Valeur en euros 13 11 11 5 5 5 3 1 Un joueur mise 5 €, tire une carte au hasard parmi les trente-deux cartes du jeu et reçoit la valeur en euros associée à cette carte. Chaque carte a la même probabilité d’être tirée. Si le joueur reçoit une somme supérieure à sa mise, son gain est positif ; s’il reçoit une somme strictement inférieure à sa mise, son gain est strictement négatif, ce qui correspond à une perte d’argent. 1°) a) Calculer le nombre de cas où le gain de ce joueur est nul. b) Calculer la probabilité p qu’il perde de l’argent. 2°) Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage fait correspondre le gain algébrique en euros du joueur. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Présenter dans un tableau la loi de probabilité de X. c) Calculer l’espérance mathématique de X. 1ère S Exercices sur les variables aléatoires 6 Un sac contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2, indiscernables au toucher. On tire une boule du sac, on note son numéro x et on la remet dans le sac ; puis on tire une seconde boule, on note son numéro y et on la remet dans le sac. Toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. A chaque tirage de deux boules, on associe dans le plan muni d’un repère orthonormé   O, , i j  le point M(x, y). On désigne par D le disque fermé de centre O et de rayon 3 . Donner les résultats en fractions irréductibles. 1°) Placer dans le plan muni du repère   O, , i j  les points correspondants aux différents résultats possibles. 2°) Calculer la probabilité des événements suivants : A : « le point M est sur l’axe des abscisses » ; B : « le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 ». 3°) Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, associe la somme 2 2 x y  . a) Déterminer la loi de X. b) Calculer  X E et  X V . c) Calculer la probabilité de l’événement C : « le point M appartient au disque D ». 7 Un appareil produit en série peut présenter à l’issue de sa fabrication, un défaut A, un défaut B, ou en même temps le défaut A et le défaut de B. 1°) On prélève un lot de 200 appareils. Le défaut A est observé sur 16 appareils, le défaut B sur 12 appareils et 180 n’ont aucun défaut. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. 2°) Cet appareil produit en série a un coût de production de 95 €. La garantie permet de faire les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivants : 10 € pour le seul défaut A, 15 € pour le seul défaut B, 25 € pour les deux défauts A et B. On note X la variable aléatoire qui, à tout appareil choisi au hasard, associe son prix de revient, c’est-à-dire le coût de production augmenté éventuellement du coût de réparation. a) Définir à l’aide d’un tableau la loi image de la variable aléatoire X. Donner les probabilités sous forme décimale. b) Calculer l’espérance mathématique  de cette variable aléatoire. Que représente  pour l’usine ? 3°) On suppose que tous les appareils ont été vendus. a) L’usine peut-elle espérer faire des bénéfices en vendant 96 € chaque appareil produit ? b) Déterminer le prix de vente d’un appareil afin d’obtenir un bénéfice moyen de 10 € par appareil. Nombre d’appareils Avec le défaut A Sans le défaut A Total Avec le défaut B Sans le défaut B Total 8 Une machine fabrique en série des tiges métalliques de forme cylindrique. Une tige peut présenter l’un des deux défauts suivants : • Défaut D1 : le diamètre n’est pas conforme ; • Défaut D2 : la longueur n’est pas conforme. Sur le lot L de 100 tiges, les informations suivantes sont données : • 8 tiges présentent le défaut D1 ; • 6 tiges présentent le défaut D2 ; • 2 tiges présentent simultanément les défauts D1 et D2. 1°) Calculer le nombre de tiges du lot L qui ne présentent : a) que le défaut D1 ; b) que le défaut D2 ; c) ni le défaut D1 ni le défaut D2. 2°) On tire au hasard une tige dans le lot L. Chacune des tiges ayant la même probabilité d’être tirée : a) calculer la probabilité de l’événement A : « la tige choisie présente les deux défauts » ; b) calculer la probabilité de l’événement B : « la tige choisie présente un défaut et un seul » ; c) calculer la probabilité de l’événement C : « la tige choisie ne présente aucun des deux défauts ». 3°) Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage d’une tige associe le nombre de défauts présentés par cette tige. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Quelle est la loi de probabilité de X ? c) Calculer l’espérance et la variance de X. 9 On considère l’expérience aléatoire suivante : Une première urne contient cinq boules numérotées 0, 2, 4, 6, 8. Une deuxième urne contient cinq boules numérotées 1, 2, 3, 4, 5. On appelle « partie » le fait de tirer au hasard une boule de la première urne, puis une boule de la deuxième. Une partie a donc 25 résultats possibles, supposés équiprobables. 1°) a) Recopier, puis compléter le tableau donnant la somme des deux nombres obtenus pour chacun des résultats possibles. + 0 2 4 6 8 1 2 3 4 5 b) Quelle est la probabilité d’obtenir pour une partie une somme égale à 7 ? c) Quelle est la probabilité d’obtenir pour une partie une somme paire ? d) Quelle est la probabilité d’obtenir pour une partie une somme au plus égale à 7 ? 2°) On considère le jeu suivant associé à chaque partie. Un joueur gagne : • 30 € si la somme est paire ; • 100 € si la somme est 13 ; • 10 € si la somme est 1, 3 ou 5 ; • et ne gagne rien dans les autres cas. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque partie associe son gain en euros. a) Calculer la probabilité de gagner 100 €. b) Donner sous la forme d’un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X. c) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X. d) L’organisateur demande 20 € uploads/Industriel/ 1ere-s-ex-sur-les-variables-aleatoires-1.pdf