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COMMANDE ROBUSTE Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 1 ELEMENTS INTRODUC

COMMANDE ROBUSTE Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 1 ELEMENTS INTRODUCTIFS À LA COMMANDE ROBUSTE Les propriétés des boucles d’asservissement ont été étudiées en détail par la théorie classique. Les principes dégagés, bien que conceptuellement simples, n’en sont pas moins fondamentaux et incontournables dans la conception pratique des systèmes asservis. Pour avoir “omis” certains de ces principes, en particulier l’importance de la robustesse, les méthodes de Commande Linéaire Quadratique Optimale n’ont pas connu le succès escompté auprès des praticiens. Les notions développées dans ce qui va suivre sont donc essentielles à une bonne compréhension des fondements de la Commande Robuste. Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 3 La commande robuste est un type de commande qui vise à garantir les performances et la stabilité d'un système face à des perturbations du milieu et les incertitudes du modèle. En effet, le modèle mathématique qui modélise un système réel est une représentation qui vise à approximer au mieux, avec des hypothèses simplificatrices, le système qu'on veut commander. Il existe donc un écart entre le comportement observé du système réel et son modèle interne. La commande robuste vise à déterminer une loi de commande qui soit capable de garantir des critères de performance et de stabilité pour un système dont le modèle varie autour du modèle théorique ou nominal. Par la même approche, on peut rendre le système robuste face aux perturbations extérieures (par exemple, une rafale de vent sur un avion de ligne) qui en somme peuvent être considérées comme une modification du modèle interne. Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 4 En Automatique, la synthèse d’une loi de commande se fait généralement sur un modèle nominal simplifié qui ne prend pas en compte toute la complexité du système. Des dynamiques sont négligées, comme celles qui se trouvent en dehors de la bande passante du système asservi ; les valeurs des paramètres du modèle sont considérées égales à leurs valeurs nominales. Du fait de ces approximations, il est généralement nécessaire de recourir à une étape de validation a posteriori de la loi de commande. On parle d’analyse de la robustesse ; il s’agit en effet d’analyser la robustesse du comportement du système asservi face aux perturbations externes (variation des conditions de fonctionnement, comme la température) ou internes (variation des paramètres) du système. Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 5 L’analyse de la robustesse s’appuie généralement sur la formulation d’un modèle variant dans le temps, variation qui peut s’exprimer en fonction d’un certain nombre de paramètres incertains. La première question concerne la stabilité. L’analyse de la robustesse en stabilité consiste à établir si le système demeure stable malgré les variations attendues des paramètres. On peut aussi souhaiter que le système maintienne certaines performances (comme la bande passante). L’analyse de la robustesse en performance cherche à établir si le système maintient les performances prévues pour les variations attendues des paramètres. Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 6 On peut distinguer deux principales sources de perturbation susceptibles de déstabiliser un système asservi ou de diminuer ses performances : les variations de ses paramètres et les dynamiques négligées. Pour traiter le second cas, celui des dynamiques qui ont été négligées lors de la synthèse, il suffit simplement de les inclure dans le modèle d’analyse. On se retrouve donc finalement à analyser la robustesse à partir d’un modèle qui peut être plus sophistiqué que le modèle de synthèse et dont les paramètres sont incertains dans certains intervalles et peuvent, selon les cas, varier au cours du temps avec des dynamiques éventuellement bornées. Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 7 Système de commande robuste : Un système de commande est dit robuste s’il conserve ses propriétés malgré les incertitudes et les perturbations affectant le système, Tenir compte des écarts lors de la conception : Synthèse robuste  Valider robustesse d’une loi de commande : Analyse robuste Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 8 Rappels - Vecteurs Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 9 Rappels - Signaux Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 10 Rappels - Systèmes linéaires invariants dans le temps Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 11 Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 12 Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 13 Quelques conﬁgurations de boucle La boucle comprend trois éléments principaux: – le bloc “système” G (plant), qui représente le système à commander, – le bloc “commande” ou compensateur C (contrôleur). Son rôle est de générer les commandes à appliquer au système à partir des sorties observées et de signaux de référence, – un comparateur qui calcule l’écart entre la sortie réelle et l’objectif de référence. Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 14 A cela s’ajoutent diverses perturbations externes qui interviennent en des points bien déﬁnis de la boucle. La nomenclature suivante est commune pour qualiﬁer les différents signaux: r(t) : consigne ou signal de référence (reference) y(t) : signal de sortie ou réponse (plant output) e(t) : erreur de suivi (controller input/tracking error) u(t) : commande (controller output) w(t) : perturbation de la commande (plant input disturbance) d(t) : perturbation de la sortie (plant output disturbance) n(t) : bruit de mesure (measurement noise) Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 15 Boucle de suivi (tracking) Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 16 Boucle de régulation Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 17 Le positionnement du bloc commande peut également varier pour mieux décrire la manière dont la commande est générée. (a) compensation en retour (b) pré-compensation Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 18 (c) combinaison des deux Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 19 Enﬁn, on peut modiﬁer l’asservissement des figures précédentes en ajoutant un bloc de pré-traitement du signal de référence r. Asservissement à deux degrés de liberté Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 20 Équations et Fonctions Caractéristiques Supposons que le système et le compensateur sont linéaires. G(s) et C(s) dénotent leurs fonctions de transfert respectives. Y = GC(I +GC)−1(R − N)+(I +GC)−1D +G(I +CG)−1 W E = (I +GC)−1(R −D − N)− G(I +CG)−1 W U = C(I +GC)−1(R −D − N)− CG(I +CG)−1W où R(s), Y(s),... sont les transformées de Laplace des signaux r(t), y(t),.... Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 21 Ces équations mettent en valeur un certain nombre de fonctions de transfert caractéristiques de la boucle (loop transfer functions) qui vont jouer un rôle important dans l’étude et la synthèse des asservissements robustes. Ces fonctions sont: – les fonctions de transfert en boucle ouverte GK(s) et CG(s) (open- loop transfer functions). – la fonction de sensibilité en sortie (output sensitivity function): S(s) = (I +G(s)C(s))−1 qui indique la sensibilité de la sortie y aux perturbations d sur cette sortie, c’est-à-dire la façon dont d affecte y. Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 22 – la fonction de sensibilité en entrée (input sensitivity function): Σ(s) = (I +C(s)G(s))−1 qui indique la sensibilité de l’entrée u + wi du système aux perturbations wi affectant cette entrée. – la fonction de sensibilité complémentaire (en sortie): T (s) = G(s)C(s)(I +G(s)C(s))−1 = I − S(s). Elle détermine la relation entre la sortie y et la consigne r (en termes de transformées de Laplace) ainsi que l’effet du bruit de mesure n sur la sortie y. Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 23 – la fonction G(s)(I + C(s)G(s))−1 = GΣ(s) qui exprime la sensibilité de la sortie y aux perturbations w de la commande u. – la fonction C(s)(I + G(s)C(s))−1 = CS(s) qui détermine comment les perturbations du système d et le bruit de mesure n affectent la commande u. Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 24 1. CONTRÔLE BOUCLÉ CLASSIQUE Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 25 Éliminant U(s) et B(S) entre les équations précédentes, nous obtenons Soit S(s) une fonction de sensibilité qui relie Y(s) et D(s) quand R(s) = N(s) = 0 Et T(s) la fonction de sensibilité complémentaire Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 26 Si N(s) = 0, alors: Si T(s) = 1 et S(s) = 0, nous avons une poursuite de consigne parfaite et un rejet de la perturbation. Si par contre N(s) ≠ 0, alors: Si, de plus, T(s) = 1 il y a une poursuite de consigne parfaite et acceptation du bruit de mesure. Si on considère le problème dans le domaine fréquentiel, il se peut qu’en basses fréquences T(jω) 1 (bonne poursuite) et qu’en hautes fréquences T(jω) 0 (bon rejet du bruit de mesure) Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 27 2. MODÈLE DE CONTRÔLE INTERNE (MCI) Gm(s) représente le modèle nominal. C(s) est le contrôleur à MIC et est conçu pour maintenir y(t) aussi proche que possible de r(t) à tous les instants. Commande Robuste par B. KOUADRI, 2020-2021 28 Le signal dans la boucle de retour est Si dans cette équation le modèle est exact, i.e. Gm(s) = G(s) et D(s) = N(s)= 0, alors B(s) = 0 et le contrôle est en boucle ouverte. Ceci est la condition quand il n’y a pas d’incertitude. Si Gm(s) ≠ G(s), et D(s) et N(s) non nuls, alors B(s) représente l’incertitude sur le système. Commande uploads/Industriel/ controle-robuste.pdf