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Université de Sousse Institut Supérieur du Transport et de la Logistique de Sou

Université de Sousse Institut Supérieur du Transport et de la Logistique de Sousse Année Universitaire : 2020-2021 Enseignant : Atef Lechiheb Section : Gl1 Corrigé du TD 2 : Variable aléatoire réelle Exercice 1. Dans une grande surface, on a relevé sur une longue période le nombre d’articles de type A vendus. L’étude statistique permet d’admettre que la variable aléatoire X qui associe à un jour ouvrable choisi au hasard pendant un mois le nombre d’articles de type A vendus ce jour là a une probabilité définie par le tableau suivant. On donnera les valeurs approchées arrondies à 10−2 près des résultats. Nombre xi de pièces 0 1 2 3 4 5 6 vendues P({X = xi}) 0,10 0,16 0,25 0,30 0,13 0,05 0,01 1. Représentez graphiquement la fonction de répartition de la variable aléatoire X. 2. Calculez l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. Que représente E(X) ? 3. Calculez la variance et l’écart-type de la variable aléatoire X. Corrigé : 1. On peut se donner pour cette question et les suivantes le tableau xi 0 1 2 3 4 5 6 P P({X = xi}) 0,10 0,16 0,25 0,30 0,13 0,05 0,01 1 xiP({X = xi}) 0 0,16 0,5 0,9 0,52 0,25 0,06 2,39 x2 i P({X = xi}) 0 0,16 1,0 2,7 2,08 1,25 0,36 7,55 F(xi) 0,10 0,26 0,51 0,81 0,94 0,99 1 On rappelle que F(xi) = P({X ≤xi}). En utilisant la dernière ligne du tableau, on a la représen- tation graphique suivante : 1 2. E(X) = n X i=1 xiP({X = xi}) pour i ∈{1, 2, . . . n}. Donc E(X) = 2, 39 (on ne divise pas par n comme c’est le cas pour une moyenne arithmétique car les P({X = xi}) correspondent ici à des fréquences). E(X) représente le nombre moyen de pièces vendues dans le cas d’un grand nombre de relevés. 3. On a V (X) = E(X2) −(E(X))2. Or E(X2) = X i x2 i P({X = xi}) = 7, 55 (E(X))2 = (2, 39)2 = 5, 7121 Par conséquent, V (X) = 7, 55 −5, 7121 = 1, 8379 et σ(X) = p V (X) ≃1, 3557. Exercice 2. Un marché de gros est organisé deux fois par mois. Durant le mois, le nombre de fois où le marché est en équilibre est une variable aléatoire X dont l’ensemble des valeurs possibles est {0, 1, 2} et 2 de fonction de probabilité définie par : P({X = xi}) =        q2, si xi = 0 2pq, si xi = 1 p2, si xi = 2 0, sinon où p et q sont deux paramètres tels que 0 < p < 1 et 0 < q < 1. 1. La variable aléatoire X est-elle discrète ou continue ? Justifier. 2. Déterminer q en fonction de p. 3. Pour p = 1/3 : (a) Représenter la distribution de probabilité de X. (b) Déterminer l’espérance mathématique et la variance de X. Corrigé : xi 0 1 2 P P({X = xi}) q2 2pq p2 1 1) L’ensemble des valeurs possibles de X est X(Ω) = {0, 1, 2}, c’est un ensemble dénombrable, donc X est une variable aléatoire discrète (finie). 2) La fonction de probabilité de X doit vérifier la condition X i P({X = xi}) = 1 soit : 2 X x=0 P(X = x) = q2 + 2pq + p2 = (p + q)2 = 1 donc p + q = 1, c’est-à-dire q = 1 −p. La solution p + q = −1 est à rejeter puisque 0 < p < 1 et 0 < q < 1. 3) Pour p = 1/3, q = 2/3 et la fonction de probabilité de X s’écrit : P({X = x}) =        4/9, si xi = 0 4/9, si xi = 1 1/9, si xi = 2 0, sinon a) La distribution de probabilité de X est représentée par un diagramme en bâtons, comme le montre le graphique suivant : 0 1 2 3 P({X = xi}) xi 4 9 1 9 3 b) L’espérance mathématique de X est donnée par E(X) = X x∈X(Ω) xP({X = x}) = 2 X x=0 xP({X = x}) = 0(4/9) + 1(4/9) + 2(1/9) = 2/3. La variance de X est donnée par V (X) = E(X2) − E(X) 2, avec E(X2) = X x∈X(Ω) x2P({X = x}) = 2 X x=0 x2P({X = x}) = 02(4/9) + 12(4/9) + 22(1/9) = 8/9. Ainsi V (X) = 8/9 −[2/3]2. Exercice 3. Pour la production d’un article, une société utilise une machine conçue pour fonctionner sans arrêt technique durant 8 heures. Dès que ce temps est dépassé, la machine peut subir des arrêts partiels de surcapacité. Elle doit être en réparation si elle s’arrête partiellement six fois successives. Le nombre de ce type d’arrêt est une variable aléatoire X dont la distribution de probabilité est représentée par le diagramme suivant : 0 1 2 3 4 5 6 P(X = xi) xi p 2p 1. Déterminer la valeur de p. 2. Déterminer l’espérance mathématique et la variance de X. 3. Déterminer la fonction de répartition de X. 4. En déduire P({X < 5}), P({X ≤3}), P({1 ≤X < 5}), P({2 < X < 5}) et P({X > 4}). 5. Calculer le probabilité conditionnelle P ({X ≤3/X < 5}). Corrigé : 1) La fonction de probabilité de X doit vérifier la condition X i P({X = xi}) = 1, soit : 6 X i=0 P({X = x}) = p + p + 2p + 2p + 2p + p + p = 10p = 1 ⇒p = 1/10 = 0.10 4 2) L’espérance mathématique de X est donnée par : E(X) = 6 X i=0 xiP({X = xi}) = 0(0.1) + 1(0.1) + 2(0.2) + 3(0.2) + 4(0.2) + 5(0.1) + 6(0.1) = 3. La variance de X est donnée par V (X) = E(X2) − E(X) 2. On calcul donc E(X2) = 6 X i=0 x2 i P({X = xi}) = 02(0.1) + 12(0.1) + 22(0.2) + 32(0.2) + 42(0.2) + 52(0.1) + 62(0.1) = 12. Ainsi , V (X) = 12 −[3]2 = 3. 3) La fonction de répartition de X est définie par F(x) = P({X ≤x}) et calculée dans le tableau suivant : xi 0 1 2 3 4 5 6 P P({X = xi}) 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 1 F(xi) = P({X ≤xi}) 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 0.9 1 Ainsi, F(x) =                                0 si x < 0 0.1 si 0 ≤x < 1 0.2 si 1 ≤x < 2 0.4 si 2 ≤x < 3 0.6 si 3 ≤x < 4 0.8 si 4 ≤x < 5 0.9 si 5 ≤x < 6 1 si x ≥6. 4) • P(X < 5) = P(X ≤4) = F(4) = 0.8 • P(X ≤3) = F(3) = 0.6 • P(1 ≤X < 5) = P(0 < X ≤4 = F(4) −F(0) = 0.8 −0.1 = 0.7 • P(2 < X < 5) = P(2 < X ≤4) = F(4) −F(2) = 0.8 −0.4 = 0.4 • P(X > 4) = 1 −P(X ≤4) = 1 −F(4) = 1 −0.8 = 0.2. 5) Si nous considérons les événements E1 = {X ≤3} et E2 = {X < 5}, alors E1 ∩E2 = {X ≤3} ∩{X < 5} = {X ≤3}, et la probabilité conditionnelle de E1 sachant E2 est donnée par : P(X ≤3/X < 5) = P(E1/E2) = P(E1 ∩E2) P(E2) = P(X ≤3) P(X < 5) = 0.6 0.8 = 0.75. 5 Exercice 4. Dans le fichier central d’une société, on sélectionne au hasard une facture pour vérifier l’exactitude. On définit alors la variable aléatoire X telle que : X = 1, si la facture est exacte 0, si la facture est erronée La loi de probabilité de X est définie par : xi 0 1 P({X = xi}) 1 −p p 1. Déterminer le moment non centré d’ordre k de X, ∀k ∈N∗. En déduire l’espérance mathématique et la variance de X. 2. Établir l’expression de la fonction génératrice des moments de X. 3. Déduire, à partir de la fonction génératrice des moments, les moments non centrés d’ordres un et deux puis le moment centré d’ordre deux. Corrigé : 1) Le moment non centré d’ordre k de X est donné par : mk = E(Xk) = X i xk i P({X = xi}) = 1 X i=0 xk i P({X = xi}) = 0k(1 −p) + 1kp = p ∀k ∈N∗. L’espérance mathématique est donc E(X) = m1 = p. La variance est donnée par V (X) = E(X2) − E(X) 2 = m2 −m2 1 = p −p2 = p(1 −p). 2) La fonction génératrice des uploads/Histoire/ corrig-td-2-1.pdf