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- 1 - page - 1 - NIVEAU : 1 SM Généralités sur les fonctions األستاذ: بنموسى مح

- 1 - page - 1 - NIVEAU : 1 SM Généralités sur les fonctions األستاذ: بنموسى محمد I. RAPPELS : A. Fonction numérique : a. Définition :  Toute relation f qui associe chaque élément x de par un élément au plus y de est appelée fonction numérique de la variable réelle x on note  f : x f x  .  Tous les éléments x de qui ont images par f constituent un ensemble , on l’appelle ensemble de définition ( ou encore domaine de définition ) on le note f D ou D . B. Fonction paire – fonction impaire : a. Définition : f est une fonction numérique de la variable réelle x définie sur f D .  ( f est paire sur f D )    f f f x D , -x D x D , f x =f x         .  ( f est impaire sur f D )    f f f x D , -x D x D , f x = f x          . C. Monotonie d’une fonction numérique : a. Définition : f est une fonction numérique de la variable réelle x définie sur un intervalle I .  f est une fonction croissante ( strictement croissante ) surI      x,x' I;x x' f x f x'      (      x,x' I;x x' f x f x'      . ( le sens de l’inégalité ne change pas ) )  f est une fonction décroissante ( strictement décroissante ) sur I      x,x' I;x x' f x f x'      (      x,x' I;x x' f x f x'      . ( le sens de l’inégalité change )  f est une fonction constante sur I      x,x' I;f x f x'    . b. Remarque :  f D I I'  tel que I et I' sont symétrique par rapport à zéro .  Si f est paire ou impaire sur f D I I'  alors il suffit d’étudier f sur E f D D I    on l’appelle ensemble de d’étude ( ou domaine d’étude ) .  Si f est paire sur f D I I'  alors les variations de f sont opposées sur I et I'.  Si f est impaire sur f D I I'  alors les variations de f sont les même sur I et I'. D. Extrémums d’une fonction : a. Définition : f est une fonction numérique de la variable réelle x définie sur f D tel que 0 f x D  .    0 f x est valeur maximale absolue de f ( f admet valeur maximale absolue au point 0 x ) si et seulement si :    f 0 x D , f f x x   .    0 f x est valeur minimale absolue de f ( f admet valeur minimale absolue au point 0 x ) si et seulement si :    f 0 f x x D , f x   . - 2 - page - 2 - NIVEAU : 1 SM Généralités sur les fonctions األستاذ: بنموسى محمد E. Applications :  Application 1 : 1. Compléter le tableau de variation et la courbe de la fonction f sachant que f est : a. f est paire sur f D ( cas n ° 1 ) b. f est impaire sur f D ( cas n ° 2 ) 2. Que représente  f 0 pour la fonction pour le cas n ° 1.  Application 2 : On considère la fonction numérique f de la variable réelle définie par  2 1 f x x 1   . 1. Déterminer f D le domaine de définition de f . 2. Etudier la parité de f . On déduit l’ensemble E D d’ étude de f . 3. Etudier la monotonie de f sur   0,1 puis sur   1, . 4. On déduit la monotonie de f sur   1,0  puis sur   , 1  . 5. Dresser le tableau de variation de f sur E D puis sur f D . 6. Est-ce que f admet un extremum ? à déterminer . II. A ajouter complément : A. Extremums relatives : a. Définition : f est une fonction numérique de la variable réelle x définie sur f D tel que 0 f x D  .    0 f x est valeur maximale relative de f ( f admet valeur maximale relative au point 0 x ) si et seulement si : il existe un intervalle ouvert 0 x I de centre 0 x tel que 0 x f I D  on a :    0 x 0 x I , f f x x   .    0 f x est valeur minimale relative de f ( f admet valeur minimale relative au point 0 x ) si et seulement si : : il existe un intervalle ouvert 0 x I de centre 0 x tel que 0 x f I D  on a :    0 x 0 x I , x f x f   .  3 0 3 -  x 0 f(x)  2 0 2 -  x 1  f(x) - 3 - page - 3 - NIVEAU : 1 SM Généralités sur les fonctions األستاذ: بنموسى محمد B. Taux d’accroissement d’une fonction f : a. Définition : f est une fonction numérique de la variable réelle x définie sur l’intervalle I . x et x' de I tel que x x'  le nombre    f x f x' x x'   s’appelle le taux d’accroissement de la fonction f entre x et x' , on note f T . b. Application : Calculer le taux d’accroissement de la fonction f sur tel que : f(x) 2x  . c. Propriétés : f T est le taux d’accroissement de la fonction f sur l’intervalle I .  Si f T 0  alors la fonction f est décroissante sur I .  Si f T 0  alors la fonction f est strictement décroissante sur I .  Si f T 0  alors la fonction f est croissante sur I .  Si f T 0  alors la fonction f est strictement croissante sur I .  Si f T 0  alors la fonction f est constante sur I . C. Fonction périodique : a. Activité : La figure ci-contre présente la courbe d’une fonction f définie sur . On prend x de . 1. Placer sur l’axe des abscisses x et x 3  . 2. Déterminer graphiquement  f x puis   f x 3  . 3. Quelle remarque peut-on tirer ? b. Vocabulaire : On a    f 3 x , f x x     on dit que la fonction f est périodique sur et son période est 3 on note : T 3  ou P 3  . c. Définition : f est une fonction numérique de la variable réelle x définie sur f D tel que * T   ( T 0  ) . la fonction f est périodique sur f D et son période est T si et seulement si :    f f f x D x T D et x T D       .  1     f x D : f x T f x    .  2 d. Remarque :  T le plus petit réel strictement supérieur à 0 qui vérifie la relation  2 .   f x sinx  et  f x cosx  sont périodique de période T 2  .   f x tanx  est périodique de période T  . e. Application :  Montrer que  f x sinax  ( avec a 0  ) est une fonction périodique de période 2 T a   .  f est une fonction périodique de période T sur f D . montrer que : - 4 - page - 4 - NIVEAU : 1 SM Généralités sur les fonctions األستاذ: بنموسى محمد 1.    f n ; x D : f x nT f x     . 2.    f n ; x D : f uploads/Histoire/ generalites-sur-les-fonctions-cours-2-4.pdf