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BTS DOMOTIQUE Fiabilité 2008-2010 Fiabilité Table des matières I Premières noti

BTS DOMOTIQUE Fiabilité 2008-2010 Fiabilité Table des matières I Premières notions de ﬁabilité 2 I.1 Fonction de défaillance, fonction de ﬁabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Taux d’avarie instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 MTBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.5 Fiabilité d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II Loi exponentielle 6 II.1 Fonction de ﬁabilité et de défaillance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.2 MTBF, Écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 http://mathematiques.daval.free.fr -1- BTS DOMOTIQUE Fiabilité 2008-2010 I Premières notions de ﬁabilité la ﬁabilité est la caractéristique d’un dispositif exprimée par la probabilité par la probabilité que ce dispositif accomplisse une fonction requise dans des conditions d’utilisation et pour une période de temps déterminées (AFNOR). Dans tout ce chapitre, on désigne par T la variable aléatoire qui, à tout dispositif choisi au hasard, associe son temps de bon fonctionnement ou sa durée de vie avant une défaillance. Pour simpliﬁer, on choisit t = 0 comme origine des temps lorsque le dispositif est mis en marche pour la première fois. La variable T est donc une variable aléatoire continue à valeurs dans [ 0 ; +∞[. On note f la densité de probabilité de la variable T. I.1 Fonction de défaillance, fonction de ﬁabilité Déﬁnition 1 On appelle fonction de défaillance la fonction F déﬁnie pour tout t ≥0 par F(t) = P(T ≤t) 0 t x y F(t) y = f(x) Le nombre F(t) représente la probabilité qu’un dispositif choisi au hasard dans la po- pulation ait une défaillance avant l’instant t. On a également F ′(t) = f(t). On a alors : P(T ≤t) = P(T > t) = 1 −P(T ≤t) = 1 −F(t). D’où la déﬁnition suivante : Déﬁnition 2 On appelle fonction de ﬁabilité R déﬁnie pour tout t ≥0 par R(t) = 1 −F(t) 0 t y 1 y = F(t) y = R(t) Le nombre R(t) représente la probabilité qu’un dispositif choisi au hasard dans la po- pulation n’ait pas de défaillance avant l’ins- tant t. http://mathematiques.daval.free.fr -2- BTS DOMOTIQUE Fiabilité 2008-2010 I.2 Estimation Dans la pratique, on ne connait pas (en général) les fonctions F et R. Dans ce cas, on peut, à partir d’études statistiques, obtenir des estimations de F(t) et R(t) pour des valeurs de t données. Exemple 1 On a mesuré pour 20 micro-ondes du même type le temps en heures écoulé avant la première panne. On obtient : Temps t [0; 500] ]500; 1000] ]1000; 1500] ]1500; 2000] ]2000; 2500] ]2500; 3000] ]3000; 4000] Nombre d’appareils 7 4 3 2 2 1 1 On souhaite estimer les valeurs de la fonction F(t) suivant les valeurs de t. On note ni le nombre de dispositifs défaillants à l’instant ti et n l’eﬀectif total de l’échantillon. on peut utiliser 3 méthodes : • Méthode des rangs bruts : On calcule les valeurs de F grâce à la formule F(ti) = ni n • Méthode des rangs moyens : Avec la méthode précédente, la probabilité qu’un dispositif n’ait pas eu de défaillance à l’instant t = 4000 est estimée à 0, ce qui dans la réalité n’est pas forcément vrai. Pour remédier à cette erreur, lorsque l’échantillon n’est pas très grand, on prend F(ti) = ni n + 1 • Méthode des rangs médians : Enﬁn, quand l’échantillon est petit, on a prend F(ti) = ni −0, 3 n + 0, 4 Pour notre exemple 1, on obtient le tableau suivant : Instant ti 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 Rangs bruts F(ti) 0, 35 0, 55 0, 70 0, 80 0, 90 0, 95 1 R(ti) 0, 65 0, 45 0, 30 0, 20 0, 10 0, 05 0 Rangs moyens F(ti) 0, 33 0, 52 0, 67 0, 76 0, 86 0, 90 0, 95 R(ti) 0, 67 0, 48 0, 33 0, 24 0, 14 0, 10 0, 05 Rangs médians F(ti) 0, 33 0, 52 0, 67 0, 77 0, 87 0, 92 0, 97 R(ti) 0, 67 0, 48 0, 33 0, 23 0, 13 0, 08 0, 03 http://mathematiques.daval.free.fr -3- BTS DOMOTIQUE Fiabilité 2008-2010 I.3 Taux d’avarie instantané Sur la courbe représentative de la fonction de défaillance F, on s’intéresse à la pente de la tangente pour un instant t donné. (Cette pente est égale à F ′(t).) : Déﬁnition 3 On appelle taux d’avarie instantané à l’instant t le nombre λ(t) déﬁni pour tout t ≥0 par λ(t) = f(t) R(t) Remarque 1 • Comme R(t) = 1 −F(t), on montre facilement que l’on a également : λ(t) = −R′(t) R(t) et λ(t) = f(t) 1 −F(t) Les relations précédentes permettent donc de trouver λ(t) si l’on connaît F(t) ou R(t). • Inversement, si l’on connaît λ(t), on peut obtenir R(t) et F(t) comme solutions des équations diﬀérentielles du premier ordre : R′(t) + λ(t)R(t) = 0 et F ′(t) + λ(t)F(t) = λ(t). On a alors : R(t) = e−R t 0 λ(x)dx et F(t) = 1 −e−R t 0 λ(x)dx • On constate expérimentalement que, pour la plupart des matériels, la courbe représentative du taux d’ava- rie instantané t 7→λ(t) a la forme donnée par la ﬁgure ci-dessous. Elle est appelée « courbe en baignoire » et comporte trois parties distinctes : 0 pannes précoces vie utile usure À gauche, la période de début de fonctionnement, où le taux d’avarie instantané décroît avec le temps, car les pannes précoces dues à des défauts de fabrication ou de conception sont de moins en moins nombreuses. Au centre, la période de maturité, ou « vie utile », où le taux d’ava- rie instantané reste à peu près constant ; pendant cette période, les pannes paraissent dues au ha- sard. A droite, la période d’usure, où le taux d’avarie instantané aug- mente avec le temps, car les pannes sont dues à l’usure crois- sante du matériel. http://mathematiques.daval.free.fr -4- BTS DOMOTIQUE Fiabilité 2008-2010 I.4 MTBF Déﬁnition 4 On appelle « Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement » (MTBF) l’espérance mathématique de la variable aléatoire T. On a donc MTBF = E(T) = Z +∞ 0 tf(t) dt A l’origine, le sigle MTBF provient de l’expression « Mean Time Between Failures »qui signiﬁe « temps moyen entre deux défaillances ». I.5 Fiabilité d’un système Fiabilité d’un système monté en série : Pour un système constitués de n composants montés en série (le bon fonctionnement de chacun étant indépendant du bon fonctionnement des autres), on montre que l’on a R(T) =R1(t) × R2(t) × · · · × Rn(t) où R1, R2, . . ., Rn sont les fonctions de ﬁabilités respectives des n composants. (En eﬀet, le système est défaillant dès qu’un seul composant est défaillant.) Fiabilité d’un système monté en parallèle : Pour un système constitués de n composants montés en parallèles (le bon fonctionnement de chacun étant indépendant du bon fonctionnement des autres), on montre que l’on a F(T) =F1(t) × F2(t) × · · · × Fn(t) où F1, F2, . . ., Fn sont les fonctions de défaillances respectives des n composants. (En eﬀet, le système est fonctionnel dès qu’un seul composant est fonctionnel.) http://mathematiques.daval.free.fr -5- BTS DOMOTIQUE Fiabilité 2008-2010 II Loi exponentielle II.1 Fonction de ﬁabilité et de défaillance Déﬁnition 5 La loi exponentielle est la loi suivie par la variable aléatoire T lorsque le taux d’avarie est constant. Autrement dit, pour tout t ≥0, on a λ(t) = λ où λ est une constante réelle strictement positive. Cette loi concerne tous les uploads/Histoire/ bts-cours-18-fiabilite.pdf