Recueil d’exercices de Mathématiques Secondes S 2014-2015 Babacar DJITTE étudia

Recueil d’exercices de Mathématiques Secondes S 2014-2015 Babacar DJITTE étudiant en Mathématiques Appliquées –UGB- Saint-Louis Page 1 UNIVERSITE GASTON BERGER DE SAINT-LOUIS UFR DES SCIENCES APPLIQUEES ET TECHNOLOGIE SECTION MATHEMATIQUES APPLIQUEES CE MANUEL EST PRESENTE PAR BABACAR DJITTE, ETUDIANT EN MATHEMATIQUES APPLIQUEES A L’UNIVERSITE GASTON BERGER DE SAINT- LOUIS Adresse mail : babacar.djitte@outlook.com « LE MONDE S’EXPRIME EN MATHEMATIQUE » ANNEE SCOLAIRE 2014-2015 Ce document a été téléchargé sur le site : https://sites.google.com/site/djittebabacarugb/ Recueil d’exercices de Mathématiques Secondes S 2014-2015 Babacar DJITTE étudiant en Mathématiques Appliquées –UGB- Saint-Louis Page 2 EXERCICES DE 2S SERIE N°1: CALCUL DANS |R Exercice 1 : 1°) Simplifier les expressions suivantes : a°) ( ) ( ) ( ) 4 7 3 2 4 3 a b c A b c a − = − − ; ( ) ( ) 3 2 3 5 4 2 4 2 8 1 2 1 0 5 5 : 3 7 6 0 6 3 B − − − − × ×   =     × − × ;  =     ×       ×    = ×    √ ×√   = ×  ×  :  ×   × ; = !"# !# !" #! "# Exercice 2 : 1°) Mettre 4 2 3 + et 9 4 5 − sous la forme ( ) 2 a b c + où a, b et c sont des entiers. 2°) Ecrire les nombres suivants sous la forme a b c + où a, b et c sont des nombres entiers : 4 2 3 + ; 9 4 5 − . 3°) Calculer et donner sous la forme la plus simple possible les réels X et Y ( ) ( ) 2 2 2 5 2 2 5 X = − − − ; ( ) ( ) 2 2 2 2 5 1 0 1 Y   = − + +     4°) Soit a un réel tel que 1 a ≠ ; simplifier 2 2 2 2 1 1 1 1 a a a a G a a a a + − − − = + − − + − Exercice 3 : 1. On désigne par Φ le nombre d’ or : Φ = 2 5 1 + Vérifier les égalités suivantes : Φ2 = Φ+1 ; Φ3 = 2Φ+1 ; Φ = Φ −1 1°) Dans chacun des cas suivants, calculer 2 x puis en déduire x. ) 4 7 4 7 a x = + − − ) 12 3 7 12 3 7 b x = − − + ) 7 4 3 7 4 3 c x = − − + 2°) Comparer les réels suivants : f) -12 2 et –17 2 6 ) 3 1 2 2 a et + + ; ) 14 6 5 5 3 b et − − ; 6 ) 4 2 5 3 d et − ) 3 2 5 2 6 c et − − ; 1 ) 2 6 3 2 2 e et − ; ) 3 2 2 2 7 f et − − Exercice 4 : 1. Montrer que si 3 = +a b b a alors 1 = − a b b a 2. Soient a, b, c trois réels. Montrer que ( ) 2 2 2 2 2 2 2 . a b c a b c ab bc ca + + = + + + + + Exercice 5 : 1°) Montrer que : 2 2 2 a b ab + ≥ ; quels que soient les réels a, b. 2°) Montrer que pour a, b, c strictement positifs( ) 2 2 a b c + + ( ) 2 2 b c a + + ( ) 2 2 c a b + ≥ 6abc Recueil d’exercices de Mathématiques Secondes S 2014-2015 Babacar DJITTE étudiant en Mathématiques Appliquées –UGB- Saint-Louis Page 3 3°) Soient trois réels a, b, c de l’intervalle] ] 0,1 Démontrer que [ ] [ ] 0;1 0;1 0 1 x et y xy ∀∈ ∀∈ ≤ ≤ ; En déduire que : ( )( )( ) 1 1 1 0 ab bc ca − − − ≤ 4°) Démontrer que si : 1 2 4 x − < , alors 2 17 4 16 x − < , x étant un réel. 5°) soit ' () * deux réels strictement positifs tels que : ' + * = 1. Exprimer * en fonction de ' et en déduire que : 4'* < 1 Exercice 6: b°) Factoriser chacune des expressions suivantes : ( ) 2 2 2 2 2 9 4 E a b a b = + − − ; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 12 4 3 2 1 F x x x x = − + + − − + ; ( ) 3 3 3 G x y x y = + − − . = ' + * + '* + 1 ; / = ' −1 + 2' ; 1 = ' + 6' + 12' + 8 −' −4' −4 Exercice 7: Soit 4, 6 () 7 trois réels et ', * () 8 des réels quelconques. 1. Démontrer que : 9: 4 + 6 + 7 = 0 , 4<=>9 4 + 6 + 7 = 3467. 2. En déduire que : ' −* + * −8 + 8 −' = 3' −** −88 −' 3. Application : calculer 1 2 ( −)3+( 3 - 2 )3 +(1- 3 )3. Exercice 8: 1. Soit x un nombre réel démontrer que : x6-1 = (x-1)(x5+x4+x3+x2+x+1). 2. En utilisant l’égalité précédente déterminez la valeur exacte de chacun des nombres A = 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1 + + + + + ; B = 243 1 81 1 27 1 9 1 3 1 1 + + + + + . Exercice 9: Résoudre les équations suivantes : 1°) 3 3 5 x − = ; 5 5 x x + = + ; 2 1 2 x x + = −+ ; ( ) ( ) ,3 2 , 1 d x d x = − 2 5 3 15 0 5 x x x x − + − = ; 9 5 4 2 = − + − x x ; 3 1 1 1 x x −+ + = ; 1 5 x x + − = 2) Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes 6 10 16 x x + + − ≤ ; 3 3 2 x x x − ≥ + − ; 2 5 1 4 x x − ≤ − ; 1 2 2 x ≤ − ≤ 3 2 2 3 x + ≥ − ; 3 2 5 0 x − + ≤ ; 2 4 3 x − ≤ ; 4 5 3 x − ≥ Exercice 10 : Soient 4 entiers naturels consécutifs n, n+1, n+2, n+3 ; ( ) 0 n > . 1°) a°) Démontrer que( )( ) ( ) 1 2 3 2 n n n n + + = + + . b°) On pose ( )( ) 1 2 n n a + + = . Exprimer en fonction de a le produit ( )( )( ) 1 2 3 p n n n n = + + + . c°) En déduire que p+1 est le carré d’un entier (on dit carré parfait). 2°) Déterminer n sachant que p=5040. Exercice 11 : Soit n un entier naturel ; écrire sans radical au dénominateur 1 1 n n + + . En déduire une expression simple de 1 1 1 1 ... . 1 2 1 3 2 100 99 + + + + + + + Recueil d’exercices de Mathématiques Secondes S 2014-2015 Babacar DJITTE étudiant en Mathématiques Appliquées –UGB- Saint-Louis Page 4 Exercice 12: Simplifier les expressions suivantes: 3 8 2 12 20 3 18 2 27 45 A − + = − + ; 3 2 5 3 2 2 3 2 2 3 7 7 3 7 3 3 7 ( ) ( ) ( ) B − −   × × = ×   × ×   7 13 7 13 C = − − + Exercice 13: Soient x et y deux nombres tels que x > y ≥ 0. Montrer que a) x y x y x y x y − + = − − b) 2 2 2 2 2 2( ) x x y x x y x y   + − + − − = +     Exercice 14: a et b sont deux nombres réels tels que : 1 1 2 a − < et 1 1 2 b − < 1) uploads/s3/ fascicule-maths.pdf

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