1 Master 2 de Math´ ematiques - Processus al´ eatoires Examen du 19 d´ ecembre

1 Master 2 de Math´ ematiques - Processus al´ eatoires Examen du 19 d´ ecembre 2011 Dur´ ee: 2 heures Il sera tenu compte de la qualit´ e de la r´ edaction. Les documents et les calculatrices sont autoris´ es. Les points sont donn´ es ` a titre indicatif. Pour obtenir 20 points, il est demand´ e de r´ esoudre les exercices 1, 2 et 3, et au choix, soit le probl` eme I, soit le probl` eme II. Exercice 1 (4 points) On suppose que les ´ etoiles filantes apparaissent dans le ciel d’une ville selon un processus de Poisson avec un taux de λ = 0.5 ´ etoiles filantes par nuit. 1. Quelle est la probabilit´ e qu’on observe une ´ etoile filante lundi, et deux ´ etoiles filantes pendant le reste de la semaine (entre mardi et dimanche)? 2. Donner la probabilit´ e d’observer une ´ etoile filante mardi, sachant qu’on a observ´ e une ´ etoile filante lundi. 3. Sachant qu’on a observ´ e 10 ´ etoiles filantes durant le mois d’avril (30 jours), quelle est la probabilit´ e d’avoir observ´ e moins de deux ´ etoiles filantes durant les 10 premiers jours? 4. Combien de nuits faut-il attendre en moyenne pour observer 10 ´ etoiles filantes? Exercice 2 (4 points) On consid` ere une chaˆ ıne de Markov sur X = {1, 2, 3, 4}, dont les seules probabilit´ es de transition non nulles sont indiqu´ ees par des fl` eches sur la figure suivante: 1 2 3 4 1. D´ eterminer les probabilit´ es de transition de telle mani` ere que la chaˆ ıne soit r´ eversible et admette la distribution stationnaire π = (0.5, 0.2, 0.2, 0.1). 2. La chaˆ ıne ainsi construite est-elle irr´ eductible? Est-elle r´ eguli` ere? 3. On note P la matrice de transition. D´ eterminer lim n→∞P n . 2 Exercice 3 (4 points) On consid` ere un processus de sauts markovien Xt sur X = {1, 2, 3, 4}, de g´ en´ erateur infinit´ esimal L =     −2 1 1 0 2 −5 1 2 2 0 −3 1 0 0 1 −1     1. Repr´ esenter le processus de sauts sous forme de graphe. 2. D´ eterminer la distribution stationnaire du processus. 3. Le processus Xt est-il irr´ eductible? 4. Le processus Xt est-il r´ eversible? Probl` eme I (8 points) Le but du probl` eme est de comparer deux types de files d’attente ` a deux serveurs. Dans le premier cas, les clients forment une seule file et choisissent le premier serveur qui se lib` ere (file M/M/2). On suppose que les clients arrivent selon un processus de Poisson de taux λ, et qu’ils sont servis pendant un temps exponentiel de param` etre µ = λ. λ λ λ 1. D´ eterminer la distribution stationnaire π de la file. 2. Quelle est la probabilit´ e qu’un client ne doive pas attendre avant d’ˆ etre servi? 3. Quel est le temps d’attente moyen avant d’ˆ etre servi? 4. Soit S le nombre de serveurs occup´ es. D´ eterminer Eπ(S). Dans le second cas, il y a une file distincte devant chaque serveur. Les clients choisissent une file ou l’autre avec probabilit´ e 1/2. λ λ λ λ/2 λ/2 5. Expliquer pourquoi du point de vue du client, ce cas est ´ equivalent ` a une file M/M/1 avec taux λ/2 et λ. 6. D´ eterminer la distribution stationnaire π du syst` eme. 7. Quelle est la probabilit´ e qu’un client ne doive pas attendre avant d’ˆ etre servi? 8. Quel est le temps d’attente moyen avant d’ˆ etre servi? 9. Soit S le nombre de serveurs occup´ es. D´ eterminer Eπ(S). 10. Comparer les deux syst` emes. 3 Probl` eme II (8 points) On consid` ere une marche al´ eatoire sym´ etrique sur X = {0, 1, . . . , N}, avec conditions au bord absorbantes, c’est-` a-dire que d` es que la marche atteint l’un des ´ etats 0 ou N, elle y reste ind´ efiniment. Soit τ = inf{n ⩾0: Xn ∈{0, N}} le temps d’absorption. Par convention, τ = 0 si X0 ∈{0, N}. Pour λ ∈R et i ∈X on pose f(i, λ) = Ei e−λτ 1{Xτ=N}  = ( Ei e−λτ si Xτ = N , 0 sinon . 1. Que valent f(0, λ) et f(N, λ)? 2. Montrer que pour tout i ∈{1, . . . , N −1}, Pi{τ = n} = 1 2  Pi−1{τ = n −1} + Pi+1{τ = n −1}  . 3. Montrer que pour tout i ∈{1, . . . , N −1}, f(i, λ) = 1 2 e−λ f(i −1, λ) + f(i + 1, λ)  . 4. Trouver une relation entre c et λ telle que l’´ equation ci-dessus pour f admette des solutions de la forme f(i, λ) = eci. Montrer ` a l’aide d’un d´ eveloppement limit´ e que c2 = 2λ + O(λ2) . 5. D´ eterminer des constantes a et b telles que Ei e−λτ 1{Xτ=N}  = a eci +b e−ci . 6. Effectuer un d´ eveloppement limit´ e au premier ordre en λ de l’´ egalit´ e ci-dessus. En d´ eduire Pi{Xτ = N} et Ei τ1{Xτ=N}  . 7. Sans faire les calculs, indiquer comment proc´ eder pour d´ eterminer la variance de τ1{Xτ=N} et l’esp´ erance et la variance de τ. On rappelle les d´ eveloppements limit´ es suivants: cosh(x) = ex + e−x 2 = 1 + 1 2!x2 + O(x4) , sinh(x) = ex −e−x 2 = x + 1 3!x3 + O(x5) . uploads/s3/ exam-procal-dec11.pdf

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