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Chapitre 1 ´ Electricit´ e dans les r´ eseaux lin´ eaires 1.1 R´ eseaux lin´ ea

Chapitre 1 ´ Electricit´ e dans les r´ eseaux lin´ eaires 1.1 R´ eseaux lin´ eaires 1.1.1 Introduction 2 L’´ electrocin´ etique : il s’agit de l’´ etude du transport d’information (faible puis- sance) ou du transport de puissance dans des r´ eseaux ´ electriques. On parle ´ eventuel- lement d’´ electronique pour le transport d’information ; ce terme prend son origine dans l’emploi, aujourd’hui en g´ en´ eral d´ epass´ e, de tubes ` a vide (` a d´ eplacement d’´ elec- trons) pour la r´ ealisation des appareils de g´ en´ eration, codage, transport r´ eception ou d´ ecodage des informations. Ces tubes (´ electronique ` a lampes) ont en g´ en´ eral ´ et´ e remplac´ es par de l’´ electronique ` a semi-conducteurs, sauf pour certaines applications sp´ eciﬁques (ampliﬁcateurs acoustiques de puissance, de haut de gamme). 2 Cadre de l’´ etude : l’´ etude de l’´ electrocin´ etique (passage du courant ´ electrique dans les r´ eseaux de dipˆ oles) se fait dans le cadre de l’Approximation des r´ egimes quasi- permanents ou A.R.Q.P. Nous d´ evelopperons ult´ erieurement (dans le cours d’´ elec- tromagn´ etisme) les conditions et les cons´ equences de cette approximation ; pour le moment, nous nous contenterons d’aﬃrmer ce qui suit : L’approximation des r´ egimes quasi-permanents consiste ` a limiter l’´ etude des r´ eseaux ´ electrocin´ etiques ` a des dimensions maximales ℓmax et ` a des dur´ ees minimales τmin v´ eriﬁant la condition (1.1) : ℓmax τmin ≪c0 c0 = 2, 99792458 × 108 m · s−1 (1.1) Dans ce cadre, on peut n´ egliger tout ph´ enom` ene de propagation dans le r´ eseau ´ elec- trocin´ etique ; en particulier, la modiﬁcation d’une grandeur ´ electrique en un point du circuit a pour cons´ equence des modiﬁcations instantan´ ees des grandeurs analogues caract´ erisant les autres points du r´ eseau. 2 Exemples : pour un circuit de dimension ℓmax = 3 m, on trouve τmin ≫10−8 s ; on pourra donc se placer dans le cadre de l’A.R.Q.P. pour l’´ etude d’un signal de fr´ equence fmax ≪108 Hz = 100 MHz, ce qui correspond ` a tout ce qu’on appelle ´ elec- tronique basse fr´ equence. Par contre, l’´ electronique de haute fr´ equence peut imposer la miniaturisation des circuits, sous peine de sortir du domaine de l’A.R.Q.P. ; ainsi ` a la fr´ equence de r´ eception des signaux de t´ el´ ephonie cellulaire (f = 1 800 MHz donc τmin = 5, 6 × 10−10 s), l’A.R.Q.P. impose ℓmax ≪17 cm, ce qui est nettement plus restrictif. 4 Physique, MP, MP* Prenons encore l’exemple du courant industriel, ` a la fr´ equence f = 50 Hz, donc avec τmin = 20 ms ; la condition d’A.R.Q.P. impose donc ℓmax ≪6 000 km : cette condi- tion est ais´ ement remplie pour un r´ eseau domestique ou une installation industrielle. Par contre, dans un r´ eseau d’alimentation de puissance ` a l’´ echelle continentale, il est indispensable de prendre en compte les eﬀets de propagation. 2 Signaux, tensions, courants : lorsque la forme d’une grandeur ´ electrique importe, car elle transporte de l’information, elle portera le nom de signal. Un signal ´ electrique peut ˆ etre transport´ e par un courant ´ electrique i ou par une tension ´ electrique (ou diﬀ´ erence de potentiel u. Lorsqu’un signal ´ electrique transporte ainsi une information, elle peut ˆ etre de nature analogique (l’information est contenue dans la forme du signal) ou num´ erique (l’in- formation est cod´ ee et une d´ eformation limit´ ee du signal n’alt` ere pas son contenu). Dans certains cas, les grandeurs ´ electriques ne transportent aucune information, mais seulement de la puissance : on parle de courants d’alimentation. C’est le cas du courant industriel, oscillant de mani` ere sinuso¨ ıdale ` a la fr´ equence de 50 Hz (60 Hz aux ´ Etats- Unis et au Japon). 2 Mesures : l’appareil essentiel des mesures ´ electriques et ´ electroniques r´ ealise des mesures de tension. Nous utiliserons deux types d’appareil : – les voltm` etres, susceptibles de faire des mesures instantan´ ees – mode DC – ou des mesures de tensions eﬃcaces vraies en courant alternatif (quelle que soit sa forme, voir plus loin) – mode AC ou RMS – ; ils sont caract´ eris´ es par : – une pr´ ecision (´ ecart maximal entre la valeur lue et la valeur vraie), qui est en g´ en´ eral la somme d’une pr´ ecision relative et d’une valeur intrins` eque, par exemple 0, 025 % + 2 chiﬀres ; – une r´ esolution (´ ecart minimal entre deux valeurs distingu´ ees par l’appareil), qui est donn´ ee par le nombre de chiﬀres (ou digits) aﬃch´ es (5 ou 6 chiﬀres par exemple pour une gamme compl` ete) ; – un appel de courant qui doit ˆ etre aussi faible que possible pour que l’appareil ne perturbe pas les circuits ´ etudi´ es ; on utilise en g´ en´ eral un mod` ele de Norton, avec une r´ esistance d’entr´ ee, de l’ordre de 10 MΩen parall` ele avec un courant d’erreur de l’ordre de 30 pA ; – enﬁn, par les diverses limites d’utilisation : choix de gammes, bande passante en fr´ equence pour les mesures en alternatif, etc. – les oscilloscopes, susceptibles de faire des mesures instantan´ ees d’un signal quel- conque – mode DC – ou de sa seule partie variable, d´ eduction faite de la moyenne – mode AC – ; ils sont caract´ eris´ es par : – une pr´ ecision qui est en g´ en´ eral donn´ ee en valeur relative, 1 % ` a 5 % par exemple selon les gammes ; – une r´ esolution qui ne d´ epend que du nombre de points ` a l’aﬃchage ; – un appel de courant faible, avec en g´ en´ eral un mod` ele form´ e d’une r´ esistance d’entr´ ee, de l’ordre de 1 MΩen parall` ele avec une capacit´ e d’entr´ ee de l’ordre de 25 pF ; – enﬁn, par sa sensibilit´ e (en mV par division), ses fr´ equences de balayage, etc. On utilise aussi parfois d’autres appareils : amp` erem` etres, ohmm` etres, capacim` etres, wattm` etres ; tous exigent de d´ ebrancher un circuit pour ˆ etre utilis´ es, ce qui explique leurs usage moindre. On leur pr´ ef` ere des mesures indirectes. 1.1.2 Lois de Kirchhoﬀ 2 R´ eseau ´ electrocin´ etique : on appelle ainsi un ensemble de N points, ou nœuds du r´ eseau, num´ erot´ es A0, . . . , AN−1 ; chaque point Ak est caract´ eris´ e par un potentiel Vk. 1 : ´ Electricit´ e dans les r´ eseaux lin´ eaires 5 Rappelons ici que, ces potentiels ´ etant d´ eﬁnis ` a une constante additive pr` es, on ne d´ eﬁnit ici que N −1 inconnues ind´ ependantes ; on peut pr´ eciser cette ind´ etermination en choisissant pour nœud A0 la masse conventionnelle du r´ eseau, assurant ainsi V0 = 0. L’´ etude d’un tel r´ eseau ´ electrocin´ etique se ram` ene alors ` a la d´ etermination des N −1 tensions (relatives ` a la masse) V1, . . . , VN−1. Deux nœuds Ak et Ap d’un mˆ eme r´ eseau sont (´ eventuellement) reli´ es par une branche ; celle-ci est parcourue par un courant ipk, alg´ ebris´ e du nœud p vers le nœud k. Notons que, s’il n’existe pas de branche reliant Ap et Ak, on notera ipk = 0. Enﬁn, par convention, on notera ikk = 0 pour tout k. 2 Loi des nœuds : l’A.R.Q.P. impose l’absence d’accumulation de charge ´ electrique en tout point du r´ eseau ; la somme des courants parvenant en un nœud est nulle ` a chaque instant. On notera donc X p ipk = 0 pour tout k la loi des nœuds ´ ecrite au nœud Ak. Contrairement aux apparences, ceci ne fournit pas N mais bien N −1 relations in- d´ ependantes ; en eﬀet, la somme de toutes les lois des nœuds s’´ ecrit X k X p ipk = 0 o` u la somme contient pour chaque couple (p, k) le terme ikp + ipk qui est nul, donc X k X p ipk = 0 et ces relations ne sont pas ind´ ependantes. 2 Loi des mailles : puisqu’on a fait l’hypoth` ese de l’existence d’un potentiel Vp pour tout nœud Ap du r´ eseau, la somme X (Vp −Vk) le long d’un contour ferm´ e fournit automatiquement z´ ero, ce qu’on peut ´ ecrire X maille upk = 0 avec upk = Vp −Vk : cette loi, mˆ eme si elle est souvent commode pour l’analyse eﬀective d’un circuit, ne fournit pas d’´ equation particuli` ere pour la r´ esolution d’un probl` eme ´ electrocin´ etique. 1.1.3 Dipˆ oles lin´ eaires 2 Dipˆ oles ´ electrocin´ etiques : uploads/s3/ cours-de-physique-lycee-claude-fauriel-electricite-optique.pdf