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Corrigé des exercices régimes transitoires Exercice 1 1. Écrire les équations d

Corrigé des exercices régimes transitoires Exercice 1 1. Écrire les équations différentielles pour les circuits électriques représentés cidessous : Colonne de gauche : l'interrupteur K, initialement ouvert, est fermé à l'instant t = 0. Colonne de droite : l'interrupteur K, initialement fermé, est ouvert à l'instant t = 0. L'inconnue est uc(t), U = 200 V, R = 10 Ω D'après la loi des mailles : U =Rit uCt La loi d'Ohm pour la capacité s'écrit : it =C d uC t dt Finalement U =RC d uC t dt uCt  L'inconnue est uC(t), I = 10 A et R = 20 Ω D'après la loi des noeuds : I =iC ti Rt  D'après les lois d'Ohm pour la résistance et la capacité : i Rt =uCt  R et iC t=C d uCt dt Finalement I =uC t R C d uC t dt L'inconnue est i(t), U = 150 V, R = 30 Ω D'après la loi des mailles : U =Rit uLt La loi d'Ohm pour l'inductance s'écrit : uLt=L d it  dt Finalement U =RitL d i t dt L'inconnue est iL(t), I = 15 A, R = 30 Ω D'après la loi des noeuds : I =i Lti Rt  D'après les lois d'Ohm pour la résistance et l'inductance : i Rt =uLt  R et uLt=L d i Lt dt Finalement I=iL(t)+ L R di L(t) dt 2. Déduire des équations précédentes les expressions littérales des constantes de temps de chaque circuit. La méthode consiste à « arranger » l'équation différentielle pour que le terme multipliant la fonction soit égal à 1 : le terme multipliant la dérivée est alors égal à la constante de temps. Équation initiale : U=RC d uC(t) dt +uC(t ) La forme de cette équation permet déjà de déterminer la constante de temps : τ=RC Équation initiale : I=uC(t) R +C duC(t ) dt Toute l'équation doit être multipliée par R ce qui donne I =uCtRC d uCt  dt soit =RC Équation initiale : U=Ri(t)+L di(t) dt Toute l'équation doit être divisée par R ce qui donne Équation initiale : I =i LtL R d i Lt  dt La forme de cette équation permet déjà de Corrigé des exercices régimes transitoires Page 1 sur 12 TS2 ET 20142015 U R =i(t)+ L R di(t) dt soit = L R déterminer la constante de temps : τ= L R 3. Pour chaque situation précédente, déterminer les valeurs atteintes en régime établi avec les valeurs proposées. Cela revient à prévoir le comportement de chaque montage en continu. Le condensateur se charge jusqu'à U soit uc(t) égal à 200 V en régime établi. La capacité en continu se comporte comme un circuit ouvert. En régime établi, tout le courant I passe dans la résistance R, la tension aux bornes de la capacité est donc égale à 200 V. En continu, l'inductance se comporte comme un courtcircuit. Le courant en régime établi sera donc égal à 5 A (loi d'Ohm pour la résistance). L'inductance est un courtcircuit en continu, tout le courant I passera donc par L en régime établi ce qui donne iL(t) = 15 A. Remarque : dans tous les cas étudiés cidessus, la dérivée est nulle en régime établi (car la grandeur est constante). Les équations différentielles se simplifient en : U=uC(t) I=uC(t) R U=Ri(t) I=iL(t) Exercice 2 Déterminer graphiquement les constantes de temps des dispositifs dont les réponses indicielles sont représentées cicontre et cidessous. Il y a deux méthodes : • la tangente à l'origine • 63 % du régime établi t = 30 ms t = 250 ms t = 50 s Corrigé des exercices régimes transitoires Page 2 sur 12 TS2 ET 20142015 Régime établi 6,3 Tangente à l'origine 63% du régime établi 100% du régime établi Exercice 3 1. La constante de temps du circuit cicontre s'écrit : = R C =C R =RC = 1 RC 2. La constante de temps du circuit cicontre s'écrit : = R L = L R =RL = 1 RL 3. Pour le dispositif représenté cicontre, l'intensité en régime établi est égale à : 10 A 100 A 0 A elle dépend de la valeur de l'inductance L'inductance se comporte comme un courtcircuit en continu. U = 200 V et R = 20 Ω 4. Pour le dispositif représenté cicontre, l'intensité en régime établi est égale à : 1 A 0 A 30 A Impossible à déterminer La capacité se comporte comme un circuit ouvert en continu. U = 30 V et R = 1 Ω 5. L'interrupteur K est fermé à l'instant t = 0, parmi les graphes cidessous et ceux de la page suivante, lequel peut correspondre à l'évolution de la tension aux bornes de la résistance ? U = 20 V, R = 10 Ω et L = 100 mH. La constante de temps est égale à = L R= 0,1 10 =10 ms En régime établi, le courant sera égal à 2 A, la tension aux bornes de la résistance sera donc égale à 20 V. a. Incompatible avec la constante de temps. b. Incompatible avec le régime établi. Corrigé des exercices régimes transitoires Page 3 sur 12 TS2 ET 20142015 c. Compatible avec la constante de temps et le régime établi. d. Incompatible avec le régime établi. Exercice 4 On considère le montage cicontre. 1. Établir l'équation différentielle reliant i(t), la dérivée de i(t), u(t), R et L. D'après la loi des mailles et les lois d'Ohm pour la résistance et l'inductance ut=Ri tL d i t dt 2. En déduire l'expression de la constante de temps en fonction de R et L. En divisant l'équation par R, on obtient ut  R =itL R d it  dt donc = L R La tension u(t) est nulle pour t négatif et égale à 100 V si t est positif. 3. Quelle est la valeur de i(t) en régime établi ? Sur le graphe cidessous à droite, le courant atteint 25 A en régime établi. 4. La solution de l'équation différentielle est de la forme it=Ae −t B a. Quelle est la valeur de B ? Lorsque t tend vers l'infini alors i(t) tend vers B qui correspond donc au régime établi : B = 25 (en ampères) it=Ae −t 25 b. Déterminer la constante A à partir des conditions initiales. Pour t = 0, i(0) = 0 d'après le graphique. D'après l'équation i0= Ae −t 25=Ae −0 = A25 donc 0= A25 soit A = 25. 5. Le graphe cicontre représente l'évolution de i(t). Déterminer la constante de temps et en déduire la valeur de l'inductance L. La constante de temps est égale à 10 ms en prenant l'instant pour lequel la réponse atteint 63% du régime établi. Comme la tension aux bornes du circuit est égale à 100 V et que le courant en régime établi est égal à Corrigé des exercices régimes transitoires Page 4 sur 12 TS2 ET 20142015 100% 63% 25 A alors la résistance est égale à 4 W. La relation = L R donne L=R.=4.10.10 −3=40 mH Exercice 5 Variation du couple résistant sur l’arbre d’un moteur à courant continu Un moteur à courant continu à aimants permanents est alimenté sous une tension U constante et égale à 220 V. La charge mécanique accouplée sur l’arbre présente un couple résistant de moment noté Cr. Caractéristiques du moteur : Résistance de l’induit : R = 4 W, constante de couple : KF = 1,6 N.m/A, l’inductance de l’induit est négligée. Le groupe tournant présente un moment d’inertie J = 0,28 kg.m². 1. Établir à partir de la relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation une relation entre I (intensité du courant dans l’induit), KF , Cr, J et la dérivée de la vitesse de rotation W. Relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation : ∑C m∑Cr=J d  dt Ici ∑C m=K I et ∑C r=Cr donc K I C r=J d  dt 2. À partir du schéma équivalent, établir une relation entre I, U, R, KF et W. Le schéma équivalent fait apparaître la fém E = KFW en série avec la résistance R, d'après la loi des mailles : U =K R I 3. Déduire des deux relations précédentes l’équation différentielle reliant W (et d t dt ) avec Cr et les éléments caractéristiques du moteur et de la charge. La deuxième équation permet d'écrire : I =U −K  R . En remplaçant I de la première équation par cette expression, on obtient : K U −K  R C r=J d  dt 4. Calculer la vitesse de rotation en régime établi pour Cr = Cr1 = 6 N.m puis Cr = Cr2 = 10 N.m. En régime établi, la vitesse de rotation est constante donc d  dt =0 , l'équation précédente devient : K U −K  R C r=0 d'où = U K −RCr K  2 • uploads/s3/ corrigeexotransitoire-1415.pdf