Prof: Abidi Farid Mathématiques Année scolaire : 2019-2020 Série : Probabilité

Prof: Abidi Farid Mathématiques Année scolaire : 2019-2020 Série : Probabilité conditionnelle Classe : 4 ème M-SE Exercice 1 Une malade est apparue dans le cheptel bovin d’un pays. Elle touche 0, 5% de ce cheptel. 1 On choisit au hasard un animal dans ce cheptel. Quel est la probabilité qu’il soit malade? 2 a On choisit successivement et au hasard dix animaux. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre d’animaux malades parmi eux. Montrer que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématiques. b On désigne par : ⋄A l’évènement « aucun animal est malade parmi les dix »; ⋄B l’évènement « au moins un animal est malade parmi les dix ». Calculer p(A) et p(B). 3 On sait que la probabilité qu’un animal ait un test positif à cette maladie sachant qu’il est malade est 0, 8. Lorsqu’un animal n’est pas malade, la probabilité d’avoir un test négatif est 0, 9. On note T l’évènement « avoir un test positif à cette maladie » et M l’évènement « être atteint de cette maladie ». a Représenter par un arbre pondéré les données de l’énoncé. b Calculer la probabilité de l’évènement T. c Quelle est la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif? Exercice 2 Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées. La probabilité pour qu’un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à 1 4. La probabilité pour qu’un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à 1 2. Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes. Soit n un entier naturel vérifiant 0 ≤n ≤50. On définit les évènements suivants : ⋄A : « le jardinier a choisit le lot 1 » ⋄B :« le jardinier a choisit le lot 2 »  Prof:ABIDI Farid c ⃝2020 1/4  Série : Probabilités conditionnelles ⋄Jn : « le jardinier obtient n tulipes jaunes ». 1 a Quelle loi de probabilité suit X le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot 1? b Quelle est l’espérance mathématiques de X ? c Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtienne n tulipes jaunes. d Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On donnera l’arrondi au millième du résultat. 2 a Montrer que p(Jn | B) = Cn 50 2−50. b En déduire la probabilité que le jardinier obtienne n tulipes jaunes. c On note pn la probabilité conditionnelle de l’évènement A sachant que Jn est réalisé. Établir que pn = 350−n 350−n + 250. d Pour quelles valeurs de n a-t-on pn ≥0, 9? Comment peut-on interpréter ce résultat?. Exercice 3 On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère n urnes U1, U2, ... et Un de composition comme suit : U1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc et chacune des autres urnes contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On tire au hasard un jeton de U1 qu’on place dans U2, puis on tire un jeton de U2 qu’on place dans U3 et ainsi de suite ... on tire un jeton de Un−1 qu’on place dans Un. Pour tout entier k tel que 0 ≤k ≤n, on note Ek l’évènement « le jeton tiré de Uk est blanc ». 1 a Calculer p(E1) , p  E2 | E1  et p  E2 | E1  . En déduire p(E2). b Pour tout entier k tel que 1 ≤k ≤n, on note pk = p(Ek). Montrer que pk+1 = 1 3 pk + 1 3. 2 On note (uk) la suite définie par u1 = 1 3 et , pour tout entier k ≥1 , uk+1 = 1 3uk + 1 3. On considère la suite (vk) définie sur N∗par vk = uk −1 2. a Montrer que (vk) est une suite géométrique dont on précisera la raison. b Donner l’expression de vk en fonction de k. 3 a En déduire la valeur de pk. b Déterminer le plus petit entier k telle que 0, 4999 < pk < 5. Exercice 1  Prof:ABIDI Farid c ⃝2020 2/4  Série : Probabilités conditionnelles 1 La probabilité que l’animal soit malade est 0, 5 100 = 0, 005. 2 a On suppose que le cheptel est assez important donc le tirage successif de 10 animaux est une épreuve de Bernoulli de paramètre n = 10 et p = 0, 005. On a E(X) = n × p = 0, 05. b On a p(A) = C0 10 × (0, 005)0 × (0, 995)10 = 0, 99510 ≃0, 951. On a p(B) = 1 −p(A) = 1 −0, 99510 ≃0, 049. 3 a On a l’arbre suivant : M T 0, 9 T 0, 1 0, 995 M T 0, 2 T 0, 8 0, 005 b On a : p(T) = p(M ∩T + p(M ∩T) = 0, 005 × 0, 8 + 0, 995 × 0, 1 = 0, 1035. c p(M | T) = p(T ∩M) p(T) = 0, 005 × 0, 8 0, 1035 ≃0, 038. Exercice 2 1 a la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 1 4. b L’espérance mathématique de X est E(X) = n × p = 12, 5 (tulipes jaunes). c On a p(X = n) = Cn 50 × 1 4 n × 3 4 50−n = Cn 50 350−n 450 . d p(X = 15) = C15 50 × 1 4 1 5 × 3 4 35 ≃0, 089. 2 a Si le lot choisi est 2 , on a autant de chances d’avoir une tulipe jaune que le contraire. La loi binomiale ici a pour paramètres n = 50 et p = 1 2. La probabilité d’obtenir n tulipes jaunes est donc : p  Jn | B) = Cn 50 × 1 2 n × 1 2 50−n = Cn 50 × 1 2 50 = Cn 50 × 2−50.  Prof:ABIDI Farid c ⃝2020 3/4  Série : Probabilités conditionnelles b De la même façon que précédemment p  Jn | A) = Cn 50 × 1 4 n × 3 4 50−n = Cn 50 350−n 450 . A et B forment une partition de l’univers , donc d’après la formule de probabilité totale : p(Jn) = p  Jn ∩A) + p  Jn ∩B) = p(A)  Jn | A  + p(B)  Jn | B  = 1 2 × Cn 50 350−n 450 + 1 2 × Cn 50 × 2−50 = 1 2 Cn 50 350−n + 250 450 . c pn = p  A | Jn  = p(A ∩Jn p(Jn) = p  Jn | A  × p(A) p(Jn) = 350−n 350−n + 250. d pn ≥0, 99 ⇐ ⇒ 350−n 350−n + 250 ≥0, 99 ⇐ ⇒350−n ≥0, 9  350−n + 250 ⇐ ⇒0, 1× 350−n ≥0, 9× 250 ⇐ ⇒(50−n)ln3 ≥ln  9× 250 ⇐ ⇒n ≤50− ln  250 × 9  ln3 d’où n ≤16, 4. Par suite ,il faut que n < 17. Interprétation : si le nombre de tulipes jaunes et peu élevé ( ici moins de 17), la probabilité d’avoir choisi le lot 1 est très grande; si ce nombre de tulipes jaunes se rapproche de 25 sur 50, la probabilité est grande que le lot choisi soit le lot 2. Exercice 3 1 a p(E1) = p1 = 1 3. L’urne U2 contient à présent 2 jetons blancs et 1 jeton noir donc p(E2 | E1) = 2 3 et p(E2 | E1) = 1 3. p(E2) = p(E1) × p(E2 | E1) + p(E1) × p(E2 | E1) = 1 3 × 2 3 + 2 3 × 1 3 = 4 9. b pk+1 = p(Ek+1) = p(Ek+1 ∩Ek) + p(Ek+1 ∩Ek) = p(Ek) × p(Ek+ | Ek) + p(Ek) × p(Ek+1 | Ek) = pk × 2 3 + (1 −pk) × 1 3 = 1 pk + 1 3. 2 On note (uk) la suite définie par u1 = 1 3 et , pour tout entier k ≥1 , uk+1 = 1 3uk + 1 3. a vk+1 = uk+1 −1 2 = 1 3uk + 1 3 −1 2 = 1 3uk −1 6 = 1 3  uk −1 2  = 1 3vk. Donc (vk) est une suite géométrique de raison q = 1 3. b On a v1 = u1 −1 2 = −1 6 donc pour tout entier k ≥1 , vk = v1 × qk−1 = −1 6 1 3 k−1 = −1 2 1 3 k . 3 a pk+1 = 1 3 pk + 1 3 donc la suite (un) est la suite (pn), d’où pk = uk = uploads/s3/ 4m-serie-proba-cond-pdf.pdf

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