Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

A. P. M. E. P. [ Corrigé du baccalauréat S \ Nouvelle-Calédonie & Wallis et Fut

A. P. M. E. P. [ Corrigé du baccalauréat S \ Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna – 28 novembre 2017 Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats Soﬁa souhaite se rendre au cinéma. Elle peut y aller à vélo ou en bus. Partie A : En utilisant le bus On suppose dans cette partie que Soﬁa utilise le bus pour se rendre au cinéma. La durée du trajet entre son domicile et le cinéma (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoire TB qui suit la loi uniforme sur [12 ; 15]. 1. On sait que si une variable aléatoire T suit une loi uniforme sur un intervalle [a ; b], alors pour α et β tels que a ⩽α ⩽β ⩽b, on a P(α ⩽T ⩽β) = β−α b −a . Comme TB suit une loi uniforme sur [12 ; 15], P(12 ⩽TB ⩽14) = 14−12 15−12 = 2 3. 2. La durée moyenne du trajet est donnée par l’espérance mathématique de la variable aléatoire. On sait que si une variable aléatoire T suit une loi uniforme sur un intervalle [a ; b], alors E(T ) = a +b 2 ; donc la durée moyenne du trajet est E(TB) = 12+15 2 = 13,5 minutes. Partie B : En utilisant son vélo On suppose à présent que Soﬁa choisit d’utiliser son vélo. La durée du parcours (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoire TV qui suit la loi normale d’espérance µ = 14 et d’écart-type σ = 1,5. 1. Si une variable aléatoire T suit une loi normale de paramètres µ et σ, alors P(T < µ) = 0,5. Comme TV suit la loi normale de paramètres µ = 14 et σ = 1,5, alors P(TV < 14) = 0,5. 2. La probabilité que Soﬁa mette entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma est P(12 ⩽TV ⩽13) ≈0,409 (trouvé à la calculatrice). Partie C : En jouant aux dés Soﬁa hésite entre le bus et le vélo. Elle décide de lancer un dé équilibré à 6 faces. Si elle obtient 1 ou 2, elle prend le bus, sinon elle prend son vélo. On note : — B l’évènement « Soﬁa prend le bus »; — V l’évènement « Soﬁa prend son vélo »; — C l’évènement « Soﬁa met entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma ». 1. Soﬁa prend le bus quand elle obtient 1 ou 2 en lançant le dé, donc avec une probabilité de 1 3. On résume les données dans un arbre pondéré : B 1/3 C 2/3 C 1/3 V 2/3 C 0,409 C 0,591 D’après la formule des probabilités totales : P(C) = P(B ∩C)+P(V ∩C) ≈1 3 × 2 3 + 2 3 ×0,409 ≈0,49. Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P. 2. Sachant que Soﬁa a mis entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma, la probabilité, arrondie à 10−2, qu’elle ait emprunté le bus est PC(B) = P(B ∩C) P(C) ≈ 2 9 0,49 ≈0,45. Exercice 2 5 points Commun à tous les candidats On considère la fonction f déﬁnie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = ¡ ln(x) ¢2 x . On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. 1. On cherche la limite de la fonction f en 0 : lim x→0 x>0 ln(x) = −∞= ⇒lim x→0 x>0 ¡ ln(x) ¢2 = +∞ lim x→0 x>0 1 x = +∞        = ⇒lim x→0 x>0 ¡ ln(x) ¢2 x = +∞et donc lim x→0 x>0 f (x) = +∞ On en déduit que la droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe C . 2. a. On sait que pour tout a > 0, ln ¡pa ¢ = 1 2 ln(a). On en déduit que, pour x > 0, ¡ ln ¡px ¢¢2 = µ1 2 ln(x) ¶2 = 1 4 ¡ ln(x) ¢2. On a donc pour tout x de ]0 ; +∞[ : 4 µln ¡px ¢ px ¶2 = 4 ¡ ln ¡px ¢¢2 ¡px ¢2 = 4× 1 4 ¡ ln(x) ¢2 × 1 x = ¡ ln(x) ¢2 x = f (x). b. En utilisant cette écriture de f (x), on cherche la limite de f (x) en +∞: lim x→+∞ p x = +∞ On pose X = px lim X →+∞ ln(X ) X = 0        = ⇒ lim x→+∞ ln ¡px ¢ px = 0 donc lim x→+∞f (x) = 0. On en déduit que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonc- tion f au voisinage de +∞. 3. On admet que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée. a. Pour tout x de ]0 ; +∞[, f ′(x) = 2 1 x ln(x)× x − ¡ ln(x) ¢2 ×1 x2 = ln(x) ¡ 2−ln(x) ¢ x2 . b. On étudie le signe de f ′(x) au moyen d’un tableau. ln(x) > 0 ⇐ ⇒x > 1 et 2−ln(x) > 0 ⇐ ⇒2 > ln(x) ⇐ ⇒e 2 > x ⇐ ⇒x < e 2 x 0 1 e 2 +∞ ln(x) − − − 0 + + + + + + 2−ln(x) + + + + + + 0 − − − x2 0 + + + + + + + + + f ′(x) = ln(x)(2−ln(x)) x2 − − − 0 + + + 0 − − − c. f (1) = ¡ ln(1) ¢2 1 = 0 et f ¡ e 2¢ = ¡ ln ¡ e 2¢¢2 e 2 = 4 e 2 ≈0,54 < 1 On obtient alors le tableau de variations ci-dessous, que l’on complète : x 0 1 e 2 +∞ +∞ 4 e 2 < 1 f (x) 0 0 1 α Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna 2 28 novembre 2017 Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P. 4. D’après le tableau de variations précédent, on peut dire que l’équation f (x) = 1 admet une solu- tion unique sur ]0 ; +∞[ et que cette solution α appartient à l’intervalle ]0 ; 1[. ½ f (0,4) ≈2,1 > 1 f (0,5) ≈0,96 < 1 = ⇒α ∈]0,4 ; 0,5[ ½ f (0,49) ≈1,04 > 1 f (0,50) ≈0,96 < 1 = ⇒α ∈]0,49 ; 0,50[ Exercice 3 3 points Commun à tous les candidats Partie A Soit la fonction f déﬁnie sur l’ensemble des nombres réels par f (x) = 2 e x −e 2x et C sa représentation graphique dans un repère orthonormé. On admet que, pour tout x appartenant à [0 ; ln(2)], f (x) est positif. Proposition A : L’aire du domaine délimité par les droites d’équations x = 0 et x = ln(2), l’axe des abscisses et la courbe C est égale à 1 unité d’aire. Comme la fonction f est positive sur [0 ; ln(2)], l’aire du domaine est égale à A = Zln(2) 0 f (x)dx. La fonction f a pour primitive la fonction F déﬁnie sur R par F(x) = 2 e x −e 2x 2 . Donc A = F(ln(2))−F(0) = · 2×2−4 2 ¸ − · 2−1 2 ¸ = 1 2. Proposition A fausse Partie B Soit n un entier strictement positif. Soit la fonction fn déﬁnie sur l’ensemble des nombres réels par fn(x) = 2n e x −e 2x et Cn sa représen- tation graphique dans un repère orthonormé. On admet que fn est dérivable et que Cn admet une tangente horizontale en un unique point Sn. Proposition B : Pour tout entier strictement positif n, l’ordonnée du point Sn est n2. Cn admet une tangente horizontale au point Sn d’abscisse α où fn(α) = 0. f ′ n(x) = 2n e x −2 e 2x = 2 e x (n −e x); f ′ n(x) = 0 ⇐ ⇒n −e x = 0 ⇐ ⇒ln(n) = x. Donc le point Sn a pour abscisse ln(n); son ordonnée est f (ln(n)) = 2n e ln(n) −e 2ln(n) = 2n2 −n2 = n2. Proposition B vraie Exercice 4 3 points Commun à tous les candidats On considère la suite des nombres complexes (zn) déﬁnie pour tout entier naturel n par zn = 1+ i (1−i )n . 1. Pour tout entier naturel n, on note An le point d’afﬁxe zn. a. zn+4 zn = 1+ i (1−i )n+4 1+ i (1−i )n = 1+ i (1−i )n+4 × (1−i )n 1+ i = 1 (1−i )4 (1−i )4 = ¡ (1−i )2¢2 = ¡ 1−2 i + i 2¢2 = (−2 i )2 = 4 i 2 = −4. Donc zn+4 zn = −1 4 ∈R. b. zn+4 zn = −1 4 ⇐ ⇒zn+4 = −1 4 zn qui entraîne − − − − − → OAn+4 = −1 4 − − − → OAn et on en uploads/s3/ corrige-s-nlle-caledonie-28-nov-2017.pdf