Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Epreuve de : Mathématiques Proposé par : Mr BEN ALI DEVOIR DE CONTROLE N°1 Date

Epreuve de : Mathématiques Proposé par : Mr BEN ALI DEVOIR DE CONTROLE N°1 Date : Vendredi 05/11/ 2007 Durée : 2 heures Lycée H.P. Manouba 4éme Math Année scolaire : 2008-2009 Exercice n°1 : (5 pts) 1)Soit la fonction g définie sur par : \ ( ) 3 2sin g x x x = + a) Montrer que pour tout ; de x \ ( ) 3 2 . 3 2 x g x x − ≤ ≤ + b)En déduire ( ) ( ) lim g et lim g x x x x →+∞ →−∞ . 2) Soit la fonction f définie sur par \ ( ) 3 si 0 ( ) 1 3 si 5 x x g x f x x x x ⎧ > ⎪ = ⎨ ⎪ 0 − + ≤ ⎩ et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( 0, , i G j G ). a) Montrer que f est continue en 0. b) Montrer que pour tout 2 3 x > ; ( ) 3 2 3 2 x x f x x x ≤ ≤ + − . c) En déduire lim ( ) x f x →+∞ . Interprète géométriquement le résultat 3) Montrer que l’équation admet une solution α dans ( ) 0 f x = ] [ 2, 1 − − . Exercice n°2 : (6 pts) Soit la suite ( u ) définie sur ` par : et n 0 2 u = 2 1 2 1 n n n n u u u u + − + = + ; n ∀∈` 1) a) Montrer que pour tout n de ; 1 ` 2 n u < ≤ b) Montrer que la suite (u ) est décroissante. n c) En déduire que (u ) est convergente et calculer sa limite . n 2) a) Montrer que pour tout n de on a : ` ( ) 1 1 0 1 3 n n u u + 1 < −≤ − . b) En déduire que pour tout n de ` : 1 0 1 . Retrouver alors . 3 n n u ⎛ ⎞ < −≤⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ` lim n x u →+∞ 3) On pose : ∀∈ . 1 n n k k S u = =∑ n ∗ a) Montrer que pour tout n de on a : ∗ ` 1 1 (1 ) 2 3 n n n S . n ⎛ ⎞ < ≤ + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ b) En déduire et lim n x S →+∞ lim n x S n →+∞ Exercice n°3 : (5 pts) Soit 0; 2 π θ ⎤ ∈⎥ ⎦ ⎣ ⎡ ⎢ et pour tout z ∈^ on pose ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 3 2 sin 2 1 2 sin 2 sin 2 2 P z z i z i z i θ θ θ = − + + + − . 1) a- Calculer 1 2 P⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . En déduire le nombre complexe b vérifiant ( ) ( ) 2 1 2 sin 2 P z z z bz i 2θ ⎛ ⎞ = − + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . b- Résoudre, dans , l’équation .On note la solution réel et les autre solutions . ^ ( ) 0 P z = 0 z 1 et z z2 2 c-Mettre sous-forme exponentielle. 1 et z z 2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( ) , , O u v G G on considère les points 1 2 , et M A M d’affixes respectifs 2 2 0 1 2 1 1 1 ; et 2 2 i i e e z z z 2 θ θ − + − = = = a- Montrer que, pour tout 0; 2 π θ ⎤ ∈ ⎡ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ , le triangle est isocèle en A. 1 2 AM M b- Pour quelle valeur de θ le triangle est équilatéral . 1 2 AM M c- Quel est l’ensemble des point 1 M lorsque θ varie dans 0; 2 π ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ Exercice n°4 : (4 pts) 1) Cette question constitue une restitution organisée de connaissances a- Soient a, b, c et d des entiers relatifs. Démontrer que si a ≡ b mod (7) et c d mod (7) alors ac ≡ ≡bd mod (7). b- En déduire que : pour a et b entiers relatifs non nuls si a b mod (7 ) alors pour tout entier naturel n, a ≡ n ≡ bn mod (7). 2) Pour a =2 puis pour a = 3, déterminer un entier naturel n non nul tel que an ≡1 mod(7). 3) Soit a un entier naturel non divisible par 7. a- Montrer que : a6 ≡ 1 mod(7). b- On appelle ordre de a mod (7), et on désigne par k, le plus petit entier naturel non nul tel que ak≡ 1 mod(7). Montrer que le reste r de la division euclidienne de 6 par k vérifie ar≡ 1 mod7. c-En déduire que k divise 6. Quelles sont les valeurs possibles de k ? d- Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6. 4) À tout entier naturel n, on associe le nombre An = 2n +3n +4n +5n +6n. Montrer que A2008≡ 6 mod (7). FIN. uploads/s3/ devoir-de-controle-n01-math-bac-math-2008-2009-mr-ben-ali.pdf