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Corr dm1 2013 1 ?? CORRIGÉ DM N ?? CORRIGÉ DU DM N CAPES Ext Autour d ? un théorème de Tchebychev concernant la répartition des nombres premiers PSI - PARTIE A Une estimation à la Tchebychev I Une minoration de la fonction ? A I A I a Comme a ?? ? la fonc

?? CORRIGÉ DM N ?? CORRIGÉ DU DM N CAPES Ext Autour d ? un théorème de Tchebychev concernant la répartition des nombres premiers PSI - PARTIE A Une estimation à la Tchebychev I Une minoration de la fonction ? A I A I a Comme a ?? ? la fonction x ? ?? x a ?? est continue sur et ?? x a ?? dx a A I b Une intégration par parties avec des fonctions polynomiales donc de classe C donne I b a xb ?? x a ??b ?? dx u v ?? b ?? a ?? x a ??b ? xb b a ??b xb ?? ??x a ??b dx b a ?? b I b a A I c On en déduit I b a b ?? a ??b I b ?? a a b ?? ??b a b ?? ??b I b ?? a a ??b b ?? a ?? I a b ?? a ?? b a b a b A I A I a Il su ?t de développer par la formule du binôme a ?? ?? x xy a ?? dx j a j k ?? k a ?? j xj yj ?? x a ?? ??j dx a ?? k ?? xk ?? ?? x a ??k dx a yk ?? k a ?? k ?? I k a yk ?? A I b Ainsi a k a ?? k ?? I k a yk ?? y ?? x a ?? dx a y ?? y ?? x a ya a y ?? ?? a a yk ?? k Par unicité de l ? écriture d ? un polynôme dans la base canonique de X en d ? autres termes on identi ?e ? les coe ?cients des yk ?? il vient a ?? k ?? I k a a donc pour tout k ?? a I k a a a ?? k ?? ce qui pour k b donne le résultat demandé A I A I a On a en utilisant encore la formule du binôme I b a xb ?? ?? x a ??b dx a ??b ?? k k a ??b k a ??b xk b ?? dx ?? k k a ??b k k b Problèmes ?? ? T LEGAY ?? Lycée d ? Arsonval septembre C ?? CORRIGÉ DM N ?? PSI - A I b On remarque que si k ?? a ?? b alors k b ?? b a Ainsi ? a k b ?? Comme a ??b k ?? ?? k ?? il vient I b a ? a ?? Mais I b a et ? a ?? Donc I b a ? a ?? Or I b a ? a ? a b a b donc b a b divise ? a A I A I a Pour a n et b n la question précédente donne n n n divise ? n qui lui-même divise ? n Et n n