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Olymp i 2010 Dixièmes Olympiades de Mathématiques du Mali Bamako au mars Première journée des ème et ème - Samedi mars ÉPREUVE N I Durée h Exercice points Trouver l ? aire du losange ABCD sachant que les rayons des cercles circonscrits aux triangles et me

Dixièmes Olympiades de Mathématiques du Mali Bamako au mars Première journée des ème et ème - Samedi mars ÉPREUVE N I Durée h Exercice points Trouver l ? aire du losange ABCD sachant que les rayons des cercles circonscrits aux triangles et mesurent respectivement cm et cm Exercice points Soient des nombres réels tels que Montrer que Exercice points Il y a élèves en classe de ième dans un lycée Montrer que deux au moins de ces élèves ont la même date d ? anniversaire de naissance CDixièmes Olympiades de Mathématiques du Mali Bamako au mars Deuxième journée des ème et ème - Dimanche mars ÉPREUVE N II Durée h Exercice points Soit la fonction telle que - Véri ?er que - Déterminer puis son ensemble de dé ?nition Exercice points Soit O le centre du cercle circonscrit à de gravité de et le milieu de Soit le centre Prouver que la droite OD est perpendiculaire à la droite OE si et seulement si Exercice points On dispose seulement d ? un crayon d ? une règle non graduée et d ? un compas - Construire un angle non nul puis sa bissectrice On expliquera clairement la procédure de construction de la bissectrice - Les grecs ont longtemps étudié la division d ? un angle en trois parties égales à l ? aide de ce matériel trisection ? Au XIXème siècle il a été démontré que cela n ? est pas toujours possible A l ? aide de ce matériel on ne peut pas diviser un angle de en trois parties égales On admettra ce résultat a- Peut-on construire un angle de Si oui explique la procédure Si oui justi ?e b- Peut-on construire un angle de Si oui explique la procédure Si oui justi ?e - Construire un triangle équilatéral puis un pentagone régulier - Quel est le plus petit angle non dont la mesure est un nombre entier positif non nul de degrés et qui est constructible à la règle non gradée et au compas CDixièmes Olympiades de Mathématiques du Mali Bamako au mars Première journée des terminales - Samedi mars ÉPREUVE N I Durée h Exercice points Trouver tous les entiers relatif m et n tels que m m n ?? Exercice points Soient des nombres réels tels que Montrer que Exercice points On dé ?nit la suite d ? entiers par - Etablir que pour - Montrer que si un nombre premier divise alors il divise CDixièmes Olympiades de Mathématiques du Mali Bamako au mars Deuxième journée des Terminales - Dimanche mars ÉPREUVE N II Durée h Exercice points Résoudre dans l ? équation Exercice points Soit un triangle tel que l ? angle ? soit le plus grand Montrer que Exercice points Soit dont la courbe représentative dans le repère orthonormé possède deux centres de symétrie distincts Prouver que est la somme d ? une fonction a ?ne et d ? une fonction périodique C