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Exam 2012 elf Eléments ?nis L MK Examen écrit Avril Partie Eléments ?nis discrets Avertissements et conseils ? La présentation la qualité de la rédaction la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l ? appréciation

Eléments ?nis L MK Examen écrit Avril Partie Eléments ?nis discrets Avertissements et conseils ? La présentation la qualité de la rédaction la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l ? appréciation de la copie ? Lisez attentivement le sujet avant de commencer et gérez votre temps ? Aucune copie ou feuille ne sera prise en compte dès que l ? examinateur aura quitté la salle d ? examens On se propose de résoudre le problème d ? une ossature plane constituée d'une poutre encastrée-encastrée de longueur L et soumise en son milieu à une force extérieure La structure est discrétisée avec deux éléments ?nis de type poutre p et p de géométries et de comportements identiques ?gure Le n ? ?? ud est au milieu de la structure et appartient aux poutres p et p Une force extérieure f y f est appliquée au n ?ud Les n ?uds et sont encastrés Chaque élément poutre est de longueur L Les poutres p et p ont comme vecteurs des inconnues nodales q v v T et q v v T Le vecteur contenant toutes les inconnues nodales est q v v v T On note I z le moment quadratique par rapport à l ? axe z et S la section de la poutre Au n ?ud i ? et mi sont respectivement les e ?orts et les moments nodaux y f p p L L x Figure Poutre encastrée-encastrée discrétisée avec deux éléments ?nis de type poutre p p Donner les expressions des matrices K K et K intervenant dans le calcul de l ? énergie de déformation UP des deux poutres U p qT K q qT K q qT K q Quelles sont les conditions aux limites déplacements rotations aux n ?uds et Le système global à résoudre s ? exprime sous la forme K q f Enumérer les composantes de f en fonction de ? et mi l el ?niexamen - - Laurent BAILLET ISTerre UFR PHITEM UJF Grenoble CEléments ?nis L MK Après l ? introduction des conditions aux limites montrer que le système d ? équations à résoudre pour exprimer l ? équilibre de l ? ossature se met sous la forme EI z L F EE F EF F F L F F F FA F FB F F F F F F v F FC F FD F FE F F F F F F f F FC F FD F FE Donner l'expression de la èche v au n ?ud en fonction de E Iz f L Calculer l'e ?ort f appliqué au n ?ud Calculer le moment m appliqué au n ?ud La structure est soumise à une force extérieure f x ?? x ?? f y y f x f y ?gure Donner l'expression de la èche déplacement suivant y v au n ?ud Donner l'expression du déplacement horizontal suivant x u au n ?ud y f F F F F F F