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Ecole william ponty devoir de mathematiques tc 2017 2018

ECOLE WILLIAM PONTY DEVOIR DE MATHEMATIQUES TC H PROBLEME On désigne par f l ? application dé ?nie par tout x strictement positif par f x ? x ?? ? ln x ? x et f ? PARTIE I a Déterminer Df ensemble de dé ?nition de f b Calculer lim x ??ln x ?? et en déduire la limite à droite de f en x c f est-elle continue à droite de f est-elle dérivable à droite de Etudier les variations de f et dresser le tableau de variation Soit Cf la courbe représentative de f dans le plan muni d un repère orthonormé O I J unité cm a Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d ? abscisse ainsi que celle de la tangente T à Cf au point d ? abscisse e b Tracer T et T puis Cf PARTIE II a Démontrer que f admet une application réciproque f - et donner les propriétés de f - b f - est-elle dérivable au point Justi ?er c calculer f - ? e Tracer Cf- la courbe représentative de f - dans le même repère orthonormé O I J EXO II ABC est un triangle équilatéral - Déterminer et placer le barycentre K des points pondérés B et C - On désigne par H le projeté orthogonal de K sur AB Démontrer que H est le barycentre des points pondérés A et B - Déduire de - et - le barycentre G des ponts pondérés A et B et C - Démontrer que la droite BG coupe la droite AC en un point L tel que LA ? ?? LC - On suppose ABC a pour côté B ? est le milieu de AC et D le point tel que AD ? AB ? BC a- Démontrer que D est barycentre des points A B et C a ?ectés de coe ?cients a b et c que l ? on déterminera En déduire que D appartient à la médiatrice de AC et que BD ? BB' b- Calculer DA et DB c- Déterminer l ? ensemble E des points M véri ?ant MA ?? MB MC d- Véri ?er que le centre de gravité G du triangle ABC appartient à E et construire E C