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Denombrement cours Dénombrement et probabilitésListes d'éléments d'un ensemble ?ni p Combinaisons p Formule du binôme p Applications aux probabilités p Copyright ? meilleurenmaths com Tous droits réservés CDénombrement et probabilités Liste d'éléments d'u

Dénombrement et probabilitésListes d'éléments d'un ensemble ?ni p Combinaisons p Formule du binôme p Applications aux probabilités p Copyright ? meilleurenmaths com Tous droits réservés CDénombrement et probabilités Liste d'éléments d'un ensemble ?ni factorielle d'un entier naturel Dé ?nition Si n est un entier naturel supérieur ou égal à on nomme factorielle n et on note n l'entier naturel égal au produit de tous les entiers naturels de à n c'est à dire n ? ? ? ? ? n Par convention et Exemples ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Dé ?nition Soit E un ensemble non vide ?ni p est un entier naturel non nul On nomme p-liste d'éléments de E toute liste x x ? x p o? x x x p sont tous éléments de E On note l'ensemble des p-listes de E Ep Proposition n et p sont deux entiers naturels supérieurs ou égaux à E est un ensemble de cardinal n L'ensemble des p-listes de E a pour cardinal n p Exemples a On jette plusieurs fois une pièce de monnaie E P F pile face n card E ? p card E On représente E à l'aide d'un arbre Copyright ? meilleurenmaths com Tous droits réservés Page CDénombrement et probabilités ? p card E b On jette plusieurs fois un dé cubique numéroté de à E n card E ? p card E On représente en général E à l'aide d'un tableau à double entrée mais on peut aussi le représenter à l'aide d'un arbre ? p card E p-listes d'éléments de E deux à deux distincts a Exemple E A B C D On considère les -listes d'éléments deux à deux distincts de E Copyright ? meilleurenmaths com Tous droits réservés Page CDénombrement et probabilités Il y a -listes d'éléments deux à deux distincts de E Remarque ? b Proposition E est un ensemble ?ni de n éléments n ? Pour tout entier naturel p tel que ? p ? n le nombre des p-listes d'éléments de E deux à deux distincts est n n ?? ? n ?? p n n ?? p p facteurs Démonstration Pour le premier élément de la liste il y a n possibilités Pour le deuxième élément de la liste il y a n- possibilités nombres d'éléments de E distincts du premier élément Donc pour les deux premiers éléments il y a n n ?? possibilités Etc Pour le pième élément de la liste il y a n ?? p ?? n ?? p possibilités Donc le nombre de p-listes d'éléments deux à deux distincts de E est n n ?? ? n ?? p Or n ??n p ? ? ? ? n ?? p n ?? ? ? ? ? p ? n ?? n ?? p n n ?? p ? n ?? n Permutations a Dé ?nition n est un entier naturel non nul On nomme permutation d'un ensemble E de