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Pc maths mines 2 2012 enonce pdf

Mines Maths PC ?? Énoncé ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO ISAE ENSTA PARISTECH TELECOM PARISTECH MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE MINES DE NANCY TÉLÉCOM BRETAGNE ENSAE PARISTECH Filière PC ÉCOLE POLYTECHNIQUE Filière TSI CONCOURS SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC Durée de l ? épreuve trois heures L ? usage d ? ordinateur ou de calculatrice est interdit Sujet mis à la disposition des concours Cycle international ENSTIM TELECOM INT TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie MATHÉMATIQUES II - PC L ? énoncé de cette épreuve comporte pages de texte Si au cours de l ? épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d ? énoncé il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amené à prendre Equation de la chaleur Dans ce texte on note R l ? ensemble des nombres réels N l ? ensemble des nombres entiers positifs ou nuls N ? N ? l ? ensemble des nombres entiers strictement positifs et Z l ? ensemble des entiers relatifs Le problème est consacré à l ? équation de la chaleur monodimensionnelle la fonction inconnue dé ?nie dans le domaine ? ? ? R à valeurs réelles est supposée continue et de plus indé ?niment dérivable par rapport à sur et par rapport à sur ? L ? inconnue est solution du système d ? équations suivant ? ? ? ? sur ? ? ?? ?? ? conditions aux limites ?? ?? condition initiale Téléchargé gratuitement sur www Doc-Solus fr CMines Maths PC ?? Énoncé o? désigne une fonction dé ?nie sur l ? intervalle Dans la suite on prendra comme condition initiale la fonction dé ?nie par ?? ? ? ? ? La variable est la variable d ? espace est la variable temporelle Un problème aux valeurs propres On cherche ici à déterminer les valeurs de valeurs propres pour lesquelles il existe une solution non nulle de l ? équation di ?érentielle ordinaire ?? ?? sur Question Montrer que si est solution de - alors elle est de classe ? sur et que ? ? ?? ?? d ?? ?? d en déduire que si n ? est pas identiquement nulle alors ? Question Pour ? déterminer l ? ensemble des solutions de En déduire que le système d ? équations - n ? a pas d ? autre solution que la solution nulle Question Montrer que - possède une solution non nulle si et seulement si ?? ?? N ? tel que Pour ?xé déterminer la dimension de l ? espace des solutions et en expliciter une base La série de Fourier de la condition initiale On note la fonction égale à sur impaire et prolongée par -périodicité à R tout entier Question Tracer la courbe représentative de sur ?? et en préciser le tableau de variation On note ?? dérivée généralisée la fonction égale à