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Mathématiques Prototype d’examen Bac N°6 Classe : 4éme Année Sciences expérimen

Mathématiques Prototype d’examen Bac N°6 Classe : 4éme Année Sciences expérimentales Classe : 4éme Sc-Exp Sousse (Khezama - Sahloul) Nabeul \ Sfax \ Bardo \ Menzah El Aouina\ Ezzahra \ CUN \ Bizerte Gafsa \ Kairouan \ Medenine \ Kébili Monastir \ Gabes \ Djerba contact@takiacademy.com www.takiacademy.com 73832000 1 On considère dans , l’équation suivante : (Eθ) : z² - 2iz – (1 + e2iθ) = 0. θ est un paramètre réel de , 2 2    −     . 1. Soient x et y deux réels. 2. Montrer que x y i ix iy 2 x y e e 2cos e 2 +       −   + =     et que x y i ix iy 2 x y e e 2isin e 2 +       −   − =     . 3. Résoudre dans , l’équation (Eθ), puis écrire les deux solutions z1 et z2 sous forme exponentielle. 4. Soient A et B les points d’affixes respectives z1 et z2. a) Montrer que O, A et B ne sont pas alignés et que le triangle OAB est rectangle en O. b) Déterminer la valeur de θ, pour que le triangle OAB soit isocèle en O. Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à 0,0001 près. Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : • si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; • si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note : M l’évènement : « l’animal est porteur de la maladie » ; T l’évènement : « le test est positif ». 1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. Exercice N°1 : 5 POINTS 40 mn Exercice N°2 : 4 POINTS 30 mn 2 2. Un animal est choisi au hasard. a) Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ? b) Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058. 3. Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie ? 4. On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test positif. a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? b) Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif ? 5. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 dinars et le coût de l’abattage d’un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1 000 dinars. On suppose que le test est gratuit. a) D’après les données précédentes, compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test : Coût 0 100 1 000 Probabilité 0,9405 0,0580 0,001 5 b) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager. c) Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d’engager ? Soit f la fonction définie sur   0 ; +  par ( ) − = + x f x x e . 1. Montrer que f est croissante sur   0 ; +  puis dresser le tableau de variation de f 2. Soit ( ) n u la suite définie sur  par 1 0 = u et ( ) 1 − + = = + un n n n u f u u e a) Vérifier la suite ( ) n u est croissante. b) Etudier le sens de variation de g : ( ) ln 1 − + x x x sur   0 ; +  et déduire que pour tout 0  x , ( ) ln 1+  x x Exercice N°3 : 4 POINTS 30 mn 3 c) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, ( ) ( ) 1 ln 1 ln +  + n n n . 3. a) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, ( ) ( ) ( ) 1 ln ln = + f n n n . b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, ( ) ln  n n u . Calculer alors lim →+ n n u I. Soit g une fonction définie sur]- 1, + ∞ [par g(x) = 1 + x² - 2x (1 + x)ln (1 + x). 1. Calculer ( ) x 1 lim g(x) + →− et x lim g(x) →+  . 2. Dresser le tableau de variation de g. 3. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique α dans]- 1, + ∞ [et que 1 1 2 . 4. Déterminer le signe de g(x) sur]- 1, + ∞ [. II. Soit f la fonction définie sur]- 1, + ∞ [par f(x) = ln(1 x) 1 x² + + . On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé( ) O,i, j . 1. Calculer ( ) x 1 lim f(x) + →− et x lim f(x) →+  . 2. a) Montrer que f ' (x) a le même signe que celui de g(x) sur ]- 1, + ∞ [. Puis dresser le tableau de variation de f. b) Montrer que f(α) = ( ) 1 2 1  + . 3. Tracer (C), (on prend α 0.7 et f(α) 0.4). III. 1. Soit I = ( ) 4 0 ln 1 tanx dx  +  a) Soit a un réel strictement positif et h une fonction continue sur l’intervalle [0, a]. Exercice N°4 : 6 POINTS 70 mn 4 Montrer que a a 0 0 h(x)dx h(a x)dx = −   . b) Montrer que pour tous réels α et β distincts de k , k 2 +   , on tan(α – β) = tan tan 1 tan tan −  +  . c) Calculer alors I. 2. Soit F la fonction définie sur]- 1, + ∞ [par F(x) = x 0 f (t)dt  . On pose G(x) = F (tanx), pour tout x 0, 2        . a) Montrer que G est dérivable sur 0, 2        et calculer G ' (x). En déduire la valeur de G 4        . b) Calculer en unité d’aire, l’aire de la partie du plan limitée par (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1. uploads/Sante/ 6285c1f7bf1fd-protorype-d-x27-examen-bac-n06-ml.pdf