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Maths psi ii triple produit

A MATH II PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO ISAE ENSTA PARISTECH TELECOM PARISTECH MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE MINES DE NANCY TÉLÉCOM BRETAGNE ENSAE PARISTECH Filière PC ÉCOLE POLYTECHNIQUE Filière TSI CONCOURS SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI Durée de l ? épreuve trois heures L ? usage d ? ordinateur ou de calculatrice est interdit Sujet mis à la disposition des concours Cycle international ENSTIM TELECOM INT TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie MATHÉMATIQUES II - PSI L ? énoncé de cette épreuve comporte pages de texte Si au cours de l ? épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d ? énoncé il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amené à prendre CLa formule du triple produit de Jacobi On note N l ? ensemble des entiers naturels N ? l ? ensemble des entiers naturels non nuls Z l ? ensemble des entiers relatifs C l ? ensemble des nombres complexes et C ? l ? ensemble des nombres complexes non nuls Si an n ? est une suite numérique on note la suite An n k ak a a an ?? an ? n an la limite si elle existe de L ? expression i m signi ?e ??pour tout i entier tel que ? i ? m ? Soit ?? C on rappelle que si Re alors Arg Arc tg Im Re Dans tout ce problème z notera un nombre complexe non nul et x un nombre réel tel que x Préambule Question Soient k k ??N une suite dans C et n ?? N démontrer par récurrence que n n k ?? ? k ?? k k La formule de Jacobi On pose ? ? Q x ?? x k et H x z z x k ?? k k Question Montrer que Q x est bien dé ?ni c ? est-à-dire que la suite de terme gé- néral n k ?? x k converge Question Soit ?k z x k ?? montrer que le produit in ?ni ? k ?k converge On pourra utilement penser à l ? utilisation du Logarithme pour transformer le produit in ?ni en série Question Soit k Arg z x k ?? montrer que la série ? k k converge Question En déduire que H est bien dé ?ni Question A l ? aide de l ? inégalité démontrer que Q x ? quand x ? On pose F x z H x z H x z ?? CQuestion Montrer que ? ? F x xz z ?? x ?? z x k z ?? x k ?? k k et en déduire que xz F x xz F x z On admettra que F x z se décompose de façon unique sous la forme suivante F x z F x z F x z ?? o? pour