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Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2 3e édition Sous la direction de Jean

Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2 3e édition Sous la direction de Jean-Pierre Ramis et André Warusfel Xavier Buff · Emmanuel Halberstadt · François Moulin · Monique Ramis · Jacques Sauloy P001-1096_9782100800582.indd 1 12/17/19 6:10 PM Illustration de couverture : © Dunod, Paris, 2006, 2013 ISBN 978-2-10-059893-9 © Dunod, Paris, 2006, 2013 ISBN 978-2-10-059893-9 ISBN 978-2-10-080058-2 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com © Dunod, Paris, 2007, 2014, 2020 Emmanuel Halberstadt, a été maître de conférences à l’Université Paris 6 Pierre et Marie Curie, ancien chargé de cours d’agrégation aux Écoles Normales Supérieures d’Ulm et de Cachan. François Moulin, ancien élève de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, professeur de chaires supérieures au Lycée sainte-Geneviève (spéciales MP*). Monique Ramis, ancienne élève de l’École Normale Supérieure de Sèvres, a été professeur de chaires supérieures (à Paris, Strasbourg, Toulouse). Jacques Sauloy, ancien élève de l’École Normale Supérieure de Saint-Cloud, maître de conférences à l’Institut de Mathématiques de Toulouse. Jean-Pierre Ramis, ancien élève de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, membre de l’Institut (Académie des Sciences), membre de l’Institut Universitaire de France, membre de l’Académie des Sciences, Inscriptions et Belles-Lettres de Toulouse, professeur émérite à l’Institut de Mathématique de Toulouse (Université Paul Sabatier), a été directeur de l’Institut de Recherches Mathématiques Avancées de Strasbourg et de l’Institut de Mathématiques de Toulouse. André Warusfel, ancien élève de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, a été professeur de mathématiques spéciales au Lycée Louis-le-Grand à Paris et inspecteur général de Mathématiques. Xavier Buff, ancien élève de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, professeur à l’Institut de Mathématiques de Toulouse, ancien directeur de l’Institut de Recherches sur l’Enseignement des Mathé- matiques de Toulouse. Illustration de couverture : © Photo gallery – Adobestock.com Illustration de couverture : © Dunod, Paris, 2006, 2013 ISBN 978-2-10-059893-9 © Dunod, Paris, 2006, 2013 ISBN 978-2-10-059893-9 ISBN 978-2-10-080058-2 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com © Dunod, Paris, 2007, 2014, 2020 Emmanuel Halberstadt, a été maître de conférences à l’Université Paris 6 Pierre et Marie Curie, ancien chargé de cours d’agrégation aux Écoles Normales Supérieures d’Ulm et de Cachan. François Moulin, ancien élève de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, professeur de chaires supérieures au Lycée sainte-Geneviève (spéciales MP*). Monique Ramis, ancienne élève de l’École Normale Supérieure de Sèvres, a été professeur de chaires supérieures (à Paris, Strasbourg, Toulouse). Jacques Sauloy, ancien élève de l’École Normale Supérieure de Saint-Cloud, maître de conférences à l’Institut de Mathématiques de Toulouse. Jean-Pierre Ramis, ancien élève de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, membre de l’Institut (Académie des Sciences), membre de l’Institut Universitaire de France, membre de l’Académie des Sciences, Inscriptions et Belles-Lettres de Toulouse, professeur émérite à l’Institut de Mathématique de Toulouse (Université Paul Sabatier), a été directeur de l’Institut de Recherches Mathématiques Avancées de Strasbourg et de l’Institut de Mathématiques de Toulouse. André Warusfel, ancien élève de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, a été professeur de mathématiques spéciales au Lycée Louis-le-Grand à Paris et inspecteur général de Mathématiques. Xavier Buff, ancien élève de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, professeur à l’Institut de Mathématiques de Toulouse, ancien directeur de l’Institut de Recherches sur l’Enseignement des Mathé- matiques de Toulouse. Illustration de couverture : © Photo gallery – Adobestock.com ✐ ✐ Les éditions Dunod remercient Jean-Marie Monier, professeur de mathématiques en classes préparatoires au lycée La Martinière-Monplaisir (Lyon), pour sa relecture attentive de l’ouvrage. P001-1096_9782100800582.indd 2 1/7/20 9:23 AM “Ldeux” — 2019/11/3 — 19:31 — page v — #1 Préface Les mathématiques constituent l’ossature de la science moderne et sont une source intaris- sable de concepts nouveaux d’une efﬁcacité incroyable pour la compréhension de la réalité matérielle qui nous entoure. Ainsi l’apprentissage des mathématiques est devenu indispen- sable pour la compréhension du monde par la science. Les nouveaux concepts eux-mêmes sont le résultat d’un long processus de distillation dans l’alambic de la pensée. Essayer de justiﬁer les mathématiques par leurs applications pratiques n’a guère de sens, tant ce pro- cessus de création est sous-tendu par la soif de connaître et non l’intérêt immédiat. Les mathématiques restent l’un des domaines dans lequel la France excelle et ceci malgré la mutilation des programmes dans le secondaire et l’inﬂuence néfaste d’un pédagogisme dont l’effet principal est de compliquer les choses simples. Vues de loin les mathématiques apparaissent comme la réunion de sujets distincts comme la géométrie, qui a pour objet la compréhension du concept d’espace, l’algèbre, art de ma- nipuler les symboles, l’analyse, science de l’inﬁni et du continu, la théorie des nombres etc. Cette division ne rend pas justice à l’un des traits essentiels des mathématiques qui est leur unité profonde de sorte qu’il est impossible d’en isoler une partie sans la priver de son es- sence. En ce sens les mathématiques ressemblent à un être biologique qui ne peut survivre que comme un tout et serait condamné à périr si on le découpait en morceaux en oubliant son unité fondamentale. L’une des caractéristiques de l’apprentissage des mathématiques, c’est la possibilité donnée à tout étudiant de devenir son propre maître et en ce sens il n’y a pas d’autorité en mathéma- tiques. Seules la preuve et la rigueur y font la loi. L’étudiant peut atteindre par le travail une maîtrise sufﬁsante pour pouvoir s’il le faut tenir tête au maître. La rigueur, c’est être sûr de soi, et à l’âge où l’on construit sa personnalité, se confronter au monde mathématique est le moyen le plus sûr de construire sur un terrain solide. Il faut, si l’on veut avancer, respecter un équilibre entre les connaissances qui sont indispensables et le « savoir-faire » qui l’est autant. On apprend les maths en faisant des exercices, en apprenant à calculer sans l’aide de l’ordinateur, en se posant des questions et en ne lâchant pas prise facilement devant la dif- ﬁculté. Seule la confrontation réelle à la difﬁculté a une valeur formatrice, en rupture avec ce pédagogisme qui complique les choses simples et mélange l’abstraction mathématique avec le jeu qui n’a vraiment rien à voir. Non, les mathématiques ne sont pas un jeu et l’on n’apprend pas les mathématiques en s’amusant. L’ouvrage qui suit est un cours soigné et complet idéal pour apprendre toutes les Mathé- matiques qui sont indispensables au niveau de la Licence. Il regorge d’exercices (700) qui P001-1096_9782100800582.indd 1 12/4/19 7:55 AM “Ldeux” — 2019/11/3 — 19:31 — page vi — #2 vi Préface incitent le lecteur à réﬂéchir et ne sont pas de simples applications de recettes, et respecte parfaitement l’équilibre nécessaire entre connaissances et savoir-faire, permettant à l’étu- diant de construire des images mentales allant bien au-delà de simples connaissances mé- morisées. Il s’agit d’un ouvrage de référence pour la Licence, non seulement pour les étu- diants en mathématiques mais aussi pour tous ceux qui s’orientent vers d’autres disciplines scientiﬁques. Il insiste sur la rigueur et la précision et va au fond des notions fondamentales les plus importantes sans mollir devant la difﬁculté et en respectant constamment l’unité des mathématiques qui interdit tout cloisonnement artiﬁciel. Il répond à une demande de tant de nos collègues d’un ouvrage qui les aide à « redresser la barre », mais sera aussi un atout merveilleux pour l’étudiant travaillant seul par la cohérence et la richesse de son contenu. Il est l’œuvre d’une équipe qui rassemble des mathématiciens de tout premier plan ayant une véritable passion pour l’enseignement. Il était grand temps! Alain Connes, Médaille Fields 1982, Professeur au Collège de France. ✐ ✐ P001-1096_9782100800582.indd 2 12/4/19 7:55 AM ✐ ✐ “Ldeux” — 2019/11/3 — 19:31 — page vii — #3 Table des matières Préface v Avant-propos xv I Algèbre I.1 Compléments d’algèbre 3 1 Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Quotient d’un ensemble par une relation d’équivalence . . . . . . . . 3 1.2 Passage au quotient d’une loi de composition interne . . . . . . . . . 6 1.3 Groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Anneaux quotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Espaces vectoriels quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Anneaux commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Polynômes sur un anneau commutatif. . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Algèbres sur un corps commutatif . . . . . . . . uploads/Science et Technologie/ dunod-1.pdf