Formation de d´ eveloppements limit´ es ´ Enonc´ es ´ Enonc´ es des exercices E

Formation de d´ eveloppements limit´ es ´ Enonc´ es ´ Enonc´ es des exercices Exercice 1 D´ eveloppement limit´ e en 0, ` a l’ordre 6, de f(x) = cos x sin 3x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solution : Il vaut mieux lin´ eariser : f(x) = 1 2(sin 4x + sin 2x). On sait que sin x = x −x3 6 + x5 120 + o(x6). On en d´ eduit : sin 2x = 2x −4x3 3 + 4x5 15 + o(x6) et sin 4x = 4x −32x3 3 + 128x5 15 + o(x6). Finalement : f(x) = 3x −6x3 + 22x5 5 + o(x6). Exercice 2 D´ eveloppement limit´ e en 0, ` a l’ordre 3, de f(x) = (1 + x)1/x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solution : On ´ ecrit ln f(x) = ln(1 + x) x = 1 x  x −x2 2 + x3 3 −x4 4 + o(x4)  = 1 −x 2 + x2 3 −x3 4 + o(x3). Ensuite f(x) = exp(ln f(x)) = exp(1 + X) = e (exp X), avec X = −x 2 + x2 3 −x3 4 + o(x3). On peut alors composer avec exp X = 1 + X + X2 2! + X3 3! + o(X3). On trouve X2 = x2 4 −x3 3 + o(X3) et X3 = −x3 8 + o(X3). On en d´ eduit : f(x) = e  1 +  −x 2 + x2 3 −x3 4  + 1 2 x2 4 −x3 3  + 1 6  −x3 8  + o(x3)  . Finalement : f(x) = e  1 −x 2 + 11x2 24 −7x3 16  + o(x3). Exercice 3 DL en 0, ` a l’ordre 8, de f(x) = (cos x −1)( sh x −x) −( ch x −1)(sin x −x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solution : On a : cos x −1 = −x2 2 + x4 24 + o(x5) et sh x −x = x3 6 + x5 120 + o(x6). On en d´ eduit : (cos x −1)( sh x −x) = −x5 12 + x7 360 + o(x8). De mˆ eme ch x −1 = x2 2 + x4 24 + o(x5) et sin x −x = −x3 6 + x5 120 + o(x6). On en d´ eduit : ( ch x −1)(sin x −x) = −x5 12 −x7 360 + o(x8). Finalement : f(x) = (cos x −1)( sh x −x) −( ch x −1)(sin x −x) = x7 180 + o(x8). Lyc´ ee Saint-Louis, MPSI3 ann´ ee 2011/2012 Page 1 Formation de d´ eveloppements limit´ es ´ Enonc´ es Exercice 4 D´ eveloppement limit´ e en 0, ` a l’ordre 4, de f(x) = ln(1 + x) (1 + x)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solution : On sait que ln(1 + x) = x −x2 2 + x3 3 −x4 4 + o(x4). D’autre part, 1 1 + x = 1 −x + x2 −x3 + o(x3) donc 1 (1 + x)2 = 1 −2x + 3x2 −4x3 + o(x3). On en d´ eduit : f(x) =  1 −2x + 3x2 −4x3 + o(x3)  x −x2 2 + x3 3 −x4 4 + o(x4)  = x −5x2 2 + 13x3 3 −77x4 12 + o(x4). Exercice 5 D´ eveloppement limit´ e en 0, ` a l’ordre 5, de f(x) = ln sin x/x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solution : On sait que sin x = x −x3 6 + x5 120 + o(x6) donc sin x x = 1 −x2 6 + x4 120 + o(x5). On compose par ln(1 −X) = −X −X2 2 + O(X3), avec X = x2 6 −x4 120 + o(x5). On trouve X2 = x4 36 + o(x5) donc f(x) = − x2 6 −x4 120  −1 2 x4 36  + o(x5) = −x2 6 −x4 180 + o(x5). Exercice 6 D´ eveloppement limit´ e en 0, ` a l’ordre 6, de f(x) = ln(1 + x) 1 −x + x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solution : On a 1 1 −x + x2 = 1 + x 1 + x3 = (1 + x)(1 −x3 + o(x5)) = 1 + x −x3 −x4 + o(x5). D’autre part : ln(1 + x) = x −x2 2 + x3 3 −x4 4 + x5 5 −x6 6 + o(x6). On en d´ eduit : f(x) = ln(1 + x) 1 −x + x2 =  x −x2 2 + x3 3 −x4 4 + x5 5 −x6 6 + o(x6)  1 + x −x3 −x4 + o(x5)  = x + x2 2 −x3 6 −11x4 12 −11x5 20 + x6 5 + o(x6) Exercice 7 D´ eveloppement limit´ e en 0, ` a l’ordre 3, de f(x) = 1 x arccos sin x x (pour x ⩾0.) Lyc´ ee Saint-Louis, MPSI3 ann´ ee 2011/2012 Page 2 Formation de d´ eveloppements limit´ es ´ Enonc´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solution uploads/Religion/ exos-7-a.pdf

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  • Publié le Apv 30, 2021
  • Catégorie Religion
  • Langue French
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