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FONCTIONS DE LYAPUNOV : APPLICATION ` A L’´ ETUDE DE DIFFUSIONS par Philippe Ca

FONCTIONS DE LYAPUNOV : APPLICATION ` A L’´ ETUDE DE DIFFUSIONS par Philippe Carmona R´ esum´ e. — Cette note fait la synth` ese de plusieurs papiers de Luc Rey-Bellet, et Lawrence Thomas [2, 4, 3, 7, 6, 5, 1]. Elle montre comment utiliser une fonction de Lyapunov pour: – Montrer qu’une diﬀusion n’explose pas (est d´ eﬁnie pour tout temps) – Montrer l’existence d’une mesure de probabilit´ e invariante – Montrer l’unicit´ e d’une mesure de probabilit´ e invariante – Montrer la convergence exponentielle du semi groupe vers la mesure invariante. Nous utilisons les crit` eres obtenus pour montrer l’existence, l’unicit´ e de la mesure de probabilit´ e invariante pour une chaˆ ıne d’oscillateurs en communication avec deux r´ eservoirs de temp´ erature. Nous obtenons ´ egalement la convergence exponentielle du semi-groupe vers la mesure invariante. 1. Crit` ere de non explosion d’une ´ equation diﬀ´ erentielle stochastique Etant donn´ ee l’´ equation diﬀ´ erentielle stochastique (1) dXt = b(Xt) dt + σ(Xt) dBt avec Xt ∈Rn, Bt un mouvement Brownien m dimensionnel. On suppose les coeﬃcients b : Rn →Rn, σ : Rn →Mn×m localement Lipschitziens. Alors on sait que pour tout point de d´ epart x0, il y a existence (locale) sur un intervalle al´ eatoire [0, ζ[, avec ζ > 0 presque sˆ urement. Classiﬁcation math´ ematique par sujets (2000). — . 2 PHILIPPE CARMONA Il y a existence globale, i.e. ζ = +∞presque sˆ urement, si b et σ ont une croissance sous lin´ eaire Exemple 1. — On consid` ere une particule dans un potentiel V , ie dont la dynamique est d´ etermin´ ee par le Hamiltonien H(p, q) = 1 2p2 + V (q). Celle ci est plac´ ee dans un bain de chaleur ` a la temp´ erature T > 0, i.e. aux ´ equations ˙ q = ∂pH, ˙ p = −∂qH, on rajoute un bruit de type Ornstein- Uhlenbeck (ou Langevin): dqt = dpt dt (2) dpt = (−γp −∇V (qt)) dt + p 2γT dBt . (3) γ > 0 est un param` etre de scaling et V est suppos´ e C2. En cons´ equence (4) |V (q)| ≤C(1 + |q|) ⇒existence globale Que faire si V (q) = q4 ? D´ eﬁnition .1. — Une fonction de Lyapunov est une fonction continue W : Rn →R+ telle que W(x) ≥1 et limW(x)|x|to∞= +∞. En partic- ulier les ensembles de niveau {x : W(x) ≤a} sont compacts. Th´ eor` eme .2. — Si les coeﬃcients b, σ sont localement lipschitziens, s’il existe une constante c et une fonction de Lyapunov W telles que LW ≤cW Alors il y a existence globale des solutions, pour tout point de d´ epart, et Ex [W(Xt)] ≤ectW(x). Application ` a l’exemple 1. — Ici L = A + L0 + L1, avec Af = ∂pH∂qf −∂qH∂pf le g´ en´ erateur du hamiltonien H = p2 2 + V (q), L0f = −γp∂pf , L1f = γT∂2 p2f On a AH = 0, L1H = γT , L0H = −γp2 Donc LH = γ(T −p2) ≤γT Comme H est minor´ e, par exemple si V ≥0, il existe C telle que W = H + C ≥1 et LW ≤γT ≤γTW. FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 3 Preuve du th´ eor` eme .2. — ´ Etant donn´ e x0, soit X(t) la solution issue de x0 de l’´ equation diﬀ´ erentielle stochastique, d´ eﬁnie sur [0, ζ[. Soit τn = inf {t > 0 : W(Xt) > n} le temps de sortie du compact {W ≤n}. Si n > W(x0), alors l’´ equation diﬀ´ erentielle stochastique avec coeﬃcients ¯ b(x) = b(x) 1(W (x)≤n) et ¯ σ(x) = σ(x) 1(W (x)≤n) globalement lipschitziens admet une unique solution ¯ Xt issu de x0 : donc ζ > τn et Xt = ¯ Xt sur t ≤τn. On peut appliquer la formule d’Itˆ o ` a Mt = W(Xt)e−ct sur l’intervalle [0, t ∧τn]: (5) Mt∧τn = M0 + Z t∧τn 0 e−cs∇W(Xs) dBs + Z t∧τn 0 e−cs(LW −cW)(Xs) ds . Le terme Nt∧τn = M0 + R t∧τn 0 e−cs∇W(Xs) dBs est une martingale lo- cale continue positive car Mt ≥0 et LW ≤cW, c’est donc une vraie surmartingale et Ex0 [Mt∧τn] ≤Ex0 [M0] c’est ` a dire: W(x0) ≥Ex0 W(Xt∧τn)e−ct∧τn ≥Ex0 W(Xτn) 1(τn≤t) = nPx0(τn ≤t) . Donc pour tout t > 0, Px0(τn ≤t) →0 donc τn →+∞Px0 presque sˆ urement, et ζ ≥lim sup τn = +∞presque sˆ urement. Maintenant, en faisant n →+∞, il vient , par Fatou, W(x0) ≥Ex0 lim inf W(Xt∧τn)e−ct∧τn = Ex0 W(Xt)e−ct . 2. Existence d’une mesure invariante On introduit le semi groupe de la diﬀusion Ptf(x) = Ex [f(Xt)] Une mesure de probabilit´ e π est dite invariante si ∀t, f Z Ptf(x) dxπ(dx) = Z f(x)π(dx) ou de fa¸ con ´ equivalente (en d´ erivant l’´ equation pr´ ec´ edente) ∀f ∈D(L) , Z π(dx)Lf(x) = 0 Dans le cadre de notre exemple 1, il est facile de v´ eriﬁer que π(dx) = e−βH(p,q)dpdq est une mesure invariante, avec β = 1 T . Si V (q) ∼(const)|q|k 4 PHILIPPE CARMONA avec k ≥1 ,alors il est facile de normaliser π pour en faire une proba- bilit´ e. Les r´ esultats de la section suivante pourront mˆ eme s’appliquer et dire que π est l’unique mesure de probabilit´ e invariante : nous au- rons donc ainsi construit un mod` ele de r´ eservoir ` a temp´ erature T, car le bruit ` a permi de choisir parmi une inﬁnit´ e de mesures invariantes de la dynamique Hamiltonienne la mesure de Gibbs π = πβ. Comme on ne peut pas toujours exhiber une solution proba ` a L∗π = 0, avec L∗l’adjoint au sens des distributions de L, on va utiliser la com- pacit´ e. Rappelons le Th´ eor` eme de Prokhorov. — Une famille de probabilit´ es (µi)i∈I d´ eﬁnie sur un espace m´ etrique s´ eparable complet (E, d) est relativement compacte pour la convergence faible ssi elle est tendue, i.e. ∀ǫ > 0, ∃K compact , sup i µi(KC) ≤ǫ. Lemme .3. — La famille (µi)i∈I est tendue s’il existe une fonction pos- itive W tendant vers +∞` a l’inﬁni telle que sup i µi(W) < +∞. D´ emonstration. — En eﬀet, par l’in´ egalit´ e de Markov, µi(W > a) ≤1 Aµi(W) ≤1 A sup i µi(W) ≤ǫ si A = A0 assez grand. Soit K un compact tel que W(x) > A sur KC, alors supi µi(KC) ≤ǫ. La r´ eciproque est vraie si E est en outre localement compact, car il existe une suite croissante de compacts Kp telle que supi µi(KC p ) ≤2−2p, et on peut , quitte ` a les grossir, imposer E = ∪Kp : alors W(x) = P p 2p 1(Kp\Kp−1)(x) convient. Lemme .4. — Si le semi groupe est Fell´ erien et s’il existe une fonction de Lyapunov W et x0 ∈E tels que supt PtW(x0) < +∞, alors il existe une probabilit´ e invariante. D´ emonstration. — Consid´ erons la famille de probabilit´ es µt(f) = 1 t Z ∞ 0 Psf(x0) ds ALors supt µt(W) ≤supt PtW(x0) < +∞, donc d’apr` es le Lemme de Prokhorov, la suite µt est tendue et admet une sous suite µtn tn ↑+∞ FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 5 convergeant faiblement vers une probabilit´ e ν : si f continue born´ ee, µtn(f) →ν(f). Donc si r > 0 et f est continue born´ ee, alors le semi groupe ´ etant Fell´ erien, Prf est continue born´ ee et µtn(Prf) →ν(Prf). Or, µtn(Prf) = 1 tn Z r+tn r Psf(x0) ds = 1 tn ((r + tn)µr+tn(f) −rµr(f)) →ν(f) Donc ν(Prf) = ν(f), d’o` u l’invariance de ν. Voici une condition suﬃsante sur la fonction de Lyapunov pour obtenir l’existence d’une proba invariante. Th´ eor` eme .5. — S’il existe des constantes c > 0, b < +∞, 0 < κ < 1, t0 > 0 et une fonction de Lyapunov W telles que: 1. LW ≤cW 2. Pt0W(x) ≤κW(x) + b1K(x) Alors il existe une probabilit´ e invariante. Remarque .6. — Les conditions 1 et 2 sont entraˆ ın´ ees par l’unique in´ egalit´ e LW(x) ≤−αW(x) + β pour deux constantes α > 0 et 0 ≤ β < +∞, car alors LW ≤β ≤βW et d dtPtW(x) = PtLW(x) ≤−αPtW(x) + β donc en int´ egrant cette in´ egalit´ e PtW(x) ≤e−αt(W(x)+ Z t 0 βeαs ds) = e−αtW(x)+β1 −e−αt α ≤e−αtW(x)+β/α Donc, ` a t > 0 ﬁx´ e, si l’on consid` ere le compact K = {W(x) ≤A} avec A grand, pour que κ = e−αt + β αA < 1, alors si x ∈KC, W(x) > A donc PtW(x) ≤e−αtW(x) + β/α ≤(e−αt + β αA)W(x) donc, PtW(x) ≤κW(x) + β/α. Observons que l’exemple 1 ne s’applique pas directement ici, en util- isant la caract´ erisation avec le g´ en´ erateur, mˆ eme uploads/Philosophie/ lyapunov.pdf