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CONCOURS SPÉCIAL TI lère épreuve 1/7 183 CONCOURS SPtCIAL T' PREMIERE EPREUVE D

CONCOURS SPÉCIAL TI lère épreuve 1/7 183 CONCOURS SPtCIAL T' PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES DURÉE : 4 heures. - COEFFICIENT : 6 La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueronf un L'usage des instruments de calcul est autorisé. élément important pour l'appréciation des copies. NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLhIE Gtant donnés un nombre réel a > O et un entier r > O, on note Er (resp. E") l'espace vectoriel des fonctions a valeurs complexes de classe C'(resp. C") sur [O, a]. On note Fr (resp. F") le sous-espace vectoriel constitué des fonctions f telles que, pour tout entier k E [O, r], Dkf (O) = O (resp. telles que, pour tout entier k 2 O, Dkf(0) = O). Les espaces Eo et Fo sont plus simplement notés E et F. On note P l'opérateur de primitivation, qui à tout élément f de E associe l'élément Pfde E défini sur f (t) dt. Pour tout entier r b O, l'opérateur Pr s'appelle primitivation d'ordre r [O, a] par la relation Pf ( x ) = (on convient que Po = 1 , oh 1 désigne l'identité). L'objectif du problème est d'étudier les opérateurs de primitivation P, d'ordre a réel non entier (ou plus généralement complexe), ce qui fait l'objet des parties III et IV. D a n s les deux premières parties, on établit des propriétés préliminaires concernant les fonctions eulériennes Gamma et B ê t a . I , ' 1. l?IlJTlE DE L A FONCTION GAMMA On note U l'ouvert de C constitué des nombres complexes z = x + i y tels que x > O. L'objectif de cette partie est d'étudier la fonction r qui à tout élément z de U associe 1. Propriétés de t =. , Pour tout nombre complexe z = x + iy et pour tout nombre réel t > O, on pose f Z = eZ1" '. a. Soit cp une fonction a valeurs complexes de classe Cl sur ]O, + a[. Prouver que t - eV(') est de classe Cl sur ]O, + * [ et que D eq = e V D c p . (On écrira cp sous la forme cp = v + ix, OÙ v et x sont à valeurs réelles.) d b. En déduire que, pour tout nombre complexe z, t - f est de classe C' sur ]O, + * [ et que - (fi) = ztz-' . c. En déduire aussi que, pour tout nombre complexe z et pour tout nombre réel t > O, la fonction u - Pz dt d du estdeclasseC'sur]-*, + *[etque -(Yz) = z l n t P . 184 CONCOURS SPÉCIAL T ' lère épreuve 2/7 d. Prouver que pour tout nombre complexe z = x + iy, 1 t'l = P. e. Soient c et d des nombres réels tels que O < c < d et B , , la bande verticale constituée des Cléments z de U tels que c Q x 6 d Gtablir, pour tout élément z de Bc,d, les majorations suivantes : I f z [ d tc si t E ] O , 1 1 ; l t z l Q r ' si t E [ l , + a[. 2. Déjinition et éqquation fonctionnelle de la fonction Gamma. a. Gtablir que, pour tout élément z = x + iy de U, l'intégrale (1) est absolument convergente. (On découpera ]O, + a [ en ]O, 1 ] et [ 1, + 03 [ ). Montrer que pour tout élément z de U, 1 r (2) 1 Q r (x). b. Prouver que, pour tout élément t de U, (2) r (Z + 1) = t r ( t ) , puis que, pour tout entier k 2 1, (2') r ( t + k ) = ( ~ + k - 1 ) ( ~ + k - 2 ) ... zr(t). c. Calculer r ( 1 ), puis r ( k) pour tout entier k 2 1. 3. Continuité de la fonction Gamma. Pour tout entier n 2 2, on note r,, la fonction définie sur U par la relation : rn (t) = 1 ; e-' tZ-l dt. a. Prouver que r,, est continue sur U. b. Montrer que r, converge uniformément sur toute bande verticale B , d vers r . c. En déduire que r est continue sur U. 4. Dérivabilité de r sur l'axe réel. Dans cette question, on étudie la dérivabilité de x - T(x) sur ]O, + 03 [. On se propose de prouver que r est de classe C" sur ]O, + 03 [ et que, pour tout entier r 2 O, (3) D r r ( x ) = e-'(lnt)'t"-' dt. a. Jhblir la convergence absolue des intégrales (3). b. En utilisant la suite des fonctions rn , établir, par récurrence sur r, que r est de classe C'sur ]O, + 03 [ et que D T est donnée par la relation (3). 5. Convexité logarithmique der. a. Soit L2 l'ensemble des fonctions f à valeurs réelles continues sur ]O, + a[ et telles que l'intégrale b. 1 ; " f (t) dt converge. Montrer que L2 est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions continues sur ]O, + a [. Prouver que l'application (f, g) - (f 1 g) = 1 f( t) g (t) dt , dont on justifiera l'existence, définit un produit scalaire euclidien sur l'espace vectoriel L ' . Grâce a l'inégalité de Schwarz appliquée a des éléments f et g de L2 convenablement choisis, prouver que, pour tout élément x de ]O, + a [, r'2 ( x ) Q r ( x ) r" (x). + m O CONCOURS SPÉCIAL T’ lère épreuve 3/7 185 c. Prouver que, pour tout x > O, r ( x ) > O. On pose Y ( x ) = l n r (x). Calculer la dérivée première et la dérivée seconde de Y. etablir que la fonction Y est convexe sur ]O, + 0 0 [ . 6. Comportement asymptotique der au voisinage de + 0 0 . a Soit 6 un élément de ]O, 1 1 . Prouver que, pour x > 1, 1 Y ( x ) - Y ( x - 1) < x [ Y ( x + 6) - Y(x)] < Y ( x + 1) - Y ( x ) . (On utilisera les propriétés des pentes des sécantes de la fonction Y). b. En déduire, sous les mêmes hypothèses, l’équivalence suivante : (4) c. Montrer enfin que (4) est encore valable pour tout nombre 6 > O. Pour cela, on pourra écrire 6 sous la fonne 6 = k + 6’, où k est entier naturel et O < 6’ < 1 et utiliser l’équation fonctionnelle (2’). I I . &TUDE DE LA FONCI’ION B&TA L‘objectif de cette partie est détudier la fonction B qui a tout Clément (p, 4) de V - U X U associe : B (p, 4) = 1 ; t p - l (1 - 1 ) q - l dl 1. Définition et équation fonctionnelle de B. a. etablir que, pour tout Clément (p, 4) de V, l’intégrale (5) est absolument convergente, et que b. Prouver que, pour tout élément (p, 4) de V, c. Montrer que, pour tout élément (p, 4) de V, IB (p, 4)l G B ( p ’ , q‘), oùp’ = Rep et 4’ = Re 4 . B (P, 4) = B (4, Pl. En déduire que : P4 B (P, 4) - B ( p + l , 4 + l ) = ( p + 4 ) ( p + 4 + 1) 2. Relation fondamentale entre les fonctions Bêta et Gamma. On se propose de prouver que, pour tout Clément (p, 4) de V, ( 7 ) r ( P ) r ( 4 ) = r ( P + 4) B (P, 4) * a. Montrerqu’ilsuKt détablir(7)lorsque Rep > 1 et Re q > 1 . D a n s toute la suite de cette question, on suppose que ces conditions sont satisfaites; on prolonge alors par continuité en O les fonctions x - x p - e t y - Y S - ’ . 186 CONCOURS SPÉCIAL T' lère épreuve 4/7 3. Zéros de la fonction Gamma. Z a. Prouver que, pour tout Clément z de U , 5 appartient à U et que b. C . d. e. f: g. h. l h n t donné un nombre réel b > O , on note K , le carré [O, b] X [O, b] et on pose, pour tout z tel que x > 1, dt. e- t t z - Prouver que On note cp l'endomorphisme de R2 défini par cp (x, y) = (4 v), où u = x + y et v = x . Prouver que cp uploads/Philosophie/ special-concours.pdf