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Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA CHAPITRE II L’Algebre de bool et fo

Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA CHAPITRE II L’Algebre de bool et fonctions logiques 1 Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA 2 Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA Chapitre 2 1. Objectif  Connaitre les theorems de l’Algebre de Boole  Connaître les opérations de base de l'algèbre de Boole en utilisant leurs différentes propriétés.  Comprendre le fonctionnement des portes logiques.  Comprendre le fonctionnement des fonctions logiques. . 2. Théorèmes de l’algèbre de Boole L'algèbre de Boole est une structure algébrique qui ne contient que deux éléments, que l'on appelle couramment variables logiques. Ces variables ne peuvent avoir que deux états : 0 : Faux (False) 1 : Vrai (True) Les théorèmes principals de l’algebre de Boole peuvent se résumer sur les trois tableaux suivants: 3 Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA 2.1 Utilisation des proprieties de l’Agebre de Boole Soit à réduire les équations suivantes en utilisant les propriétés de l'algèbre de Boole:: 1/ Y=a + a.b = a ? Démonstration: Y=a.(1+b) selon le theorem 1 du tableau-2 on écrit alors Y=a 2/ Z=a.(a+b)=a ? Z=a.a +a.b=a+a.b=a.(1+b)=a 3/ C=a + (a.b)=a+b ? C=(a+a) .( a+b)=1.(a+b)=a+b 4/ D=(a+b).(a+b)=a ? D=a.a + a.b + b.a +b.b=a+a.b+b.a+0=a.(1+b+b)=a.(1+1)=a.1=a 5/ G=(a+b)+(a+b)+(a+b)=1 ? 6/ K=(a+b).(a.c+b)=b ? 7/ X=a.c.(a+b+c)=a.b.c ? / X=a.b+a.b+a.c +a.c)=b+c ? 2.2 Opérations de base de l’Algebre de Boole Comme n'importe quelle autre algèbre, il existe dans l'Algèbre de Boole des opérations, des variables et des fonctions don’t on nomme:  Opérations logiques  Variables logiques  Fonctions logiques 3. Les opérations logiques et Portes logiques correspondants On définit six opérations logiques: 4 Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA  Trois opérations principales.  Trois opérations secondaires. 3.1 Les opérations principales 3.1 .1 NON (NOT): Appelé couramment inverseur, il possède une seule entrée et une seule sortie, c'est un opérateur qui réalise le complément d'une variable logique A, noté : Porte NON (NOT) Son fonctionnement est défini par la table de vérité suivante: Table de fonctionnement (Table de vérité) 3.2 ET (AND): C'est le produit logique de deux ou plusieurs variables logiques, le résultat de l'opération est 1, lorsque toutes les variables sont à 1. Si A et B représentent deux variables logiques, le résultat de l'opération ET entre ces deux variables est noté: A AND B=A . B Une porte logique AND à deux entrées est symbolisée de la manière suivante: 5 Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA Porte ET (AND) L'opération logique AND, notée ‘•' est définie par la table de vérité suivante: T able de vérité de l’opérateur ET (AND) 3.3 OU (OR): C'est la somme logique de deux ou plusieurs variables logiques, le résultat de l'opération est 1, lorsque au moins une des variables est égale à 1. Si A et B représentent deux variables logiques, le résultat de l'opération OU entre ces deux variables A et B est noté: A OR B=A + B Une porte logique OR à deux entrées est symbolisée de la manière suivante: Porte OU (OR) La fonction OR, notée +, est définie par la table de vérité suivante: Table de vérité de la porte logique OR 3.2 Les opérations secondaires 3.2.1 NON ET (NAND): 6 Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA C'est le complément de produit logique de deux variables logiques A et B noté : A NAND B = A.B Le symbole graphique d'une porte logique NAND est représenté comme suit: Porte NON ET (NAND) Une opération logique NAND fonctionne selon la table de vérité suivante: NON ET (NAND) 3.2.2 NON OU (NOR): C'est l'équivalent d'une opération OU suivie d'une opération NON de la somme logique de deux variables logiques A et B notée: A NOR B = A + B L'opération logique NOR a pour symbole: Porte NON OU (NOR) 7 Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA L'opération logique NOR a pour table de vérité suivante NON OU (NOR) 3.2.3. OU exclusif (XOR): Cette opération donne comme résultat 1, si et seulement si une des deux variables est égale à 1, elle est définit par: A XOR B = A + B Elle a pour représentation symbolique: Sa table de vérité est la suivante: OU Exclusif (XOR) XOR est égal à 1 si et seulement si A = 1 ou B = 1 mais pas simultanément, une opération XOR fournit un comparateur d'inégalité: XOR ne vaut 1 que si A et B sont différents. Le complément du XOR correspond à un détecteur d'égalité: 8 Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA A + B = A.B + A.B 4. Les fonctions logiques Une fonction de n variables logiques d’entrées est une combinaison de ces n variables binaires. Définie dans une structure d'algèbre de Boole, elle s'exprime à l'aide des lois de l'algèbre Boole. On peut établir une table de fonctionnement ansi appellee table de vérité de la fonction logique, cette table représente l'état de la variable de sortie de la function en fonction de l'état des différentes variables en entrée. La fonction logique sera réalisée par un circuit logique ou encore appelé logigramme utilisant des opérateurs logiques (portes logiques). Exemple: La fonction « Majorité de 3 variables »: Elle depend de trois variables (A, B, C) A B F(A,B,C) C La fonction F vaut 1 si la majorité (2 ou 3) des variables sont à l’état 1. - Table de vérité de la function F: Table de vérité Combinaison A B C S=MAJ(A, B, C) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 9 Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 - Crcuit logique (Logigramme) d’une fonction: Logigramme de la fonction N (a,b,c,d) 4.1 Représentation des fonctions logiques Les fonctions logiques peuvent s’exprimer à partir de la table de vérité sous deux forms canoniques: Première forme canonique: Somme de produit exemple: F(a,b)=a.b+a.b+a.b Deuxième forme canonique: Produit de Somme exemple: F(a,b)=(a+b).(a+b).(a+b).(a+b) Exemple 1: 10 Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA Prenons la meme fonction de l’exemple précédent, la fonction Majorité de 3 variables F(A,B,C)  1ere forme canonique: Cas ou la fonction vaut 1: F(A,B,C)=1 voir la table de vérité F(A,B,C)=A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C  2eme forme canonique: Cas ou la function vaut 0: F(A,B,C)=0 voir la table de vérité F(A,B,C)=(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C) Exemple 2: Première forme canonique de S : Deuxième forme canonique de S : 4.2 Simplification des fonctions logiques Simplifier une fonction logique revient à dire rechecher l’expression la plus simple possible, il existe deux method de simplification:  Simplification algebrique (theorem de l’algebre de Boole)  Simplification par la table de Karnaugh 4.2.1 Simplification par l’Algebre de Boole Exemple: 11 Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA Simplification de La fonction « Majorité» : MAJ(A,B,C) MAJ(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC. MAJ(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC. MAJ(A,B,C)=BC(A+A)+AB(C+C)+AC(B+B). MAJ(A,B,C)=BC+AB+AC NB: Les règles et propriétés de l’algèbre de Boole permettent de simplifier les fonctions mais reste une méthode relativement lourde. Elle ne permet jamais de savoir si l’on aboutit ou pas à une expression minimale de la fonction. Nous pourrons alors utiliser la méthode du tableau de KARNAUGH 4.2.2 Simplification par le tableau de KARNAUGH La méthode du tableau de Karnaugh va nous permettre d’effectuer des simplifications beaucoup plus rapidement sans avoir à écrire de longues equations comme dans le cas de l’algebre de boole. Le tableau de KARNAUGH doit contenir 2^n cases, n étant le nombre de variables. - Sur les lignes et colonnes, on place l’état des variables d’entrée codées en binaire réfléchi (code Gray) - Dans chacune des cases, on place l’état de la sortie pour les combinaisons d’entrée correspondante. Exemple: Soit une function S à 3 variables a, b, c le passage de la table de véritée au tableau de KARNAUGH de la fonction est donné comme suit: La simplification consiste à réaliser des groupements de CASES ADJACENTES contenant des 1 ou des 0. Un groupement de 1 permet d’obtenir l’équation de S, un groupement de 0 permet d’obtenir l’équation S. Exemples de groupements 12 Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA - Un groupement de 1 case n’élimine aucune variable - Un groupement de 2 cases élimine 1 variable - Un groupement de 4 cases élimine 2 variables -Un groupement de 8 cases élimine 3 variables -Simplification de la fonction Majorité MAJ(A,B,C): L’expression de MAJ(A,B,C) sous la première forme canonique “mintermes” est donnée comme suit: MAJ(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC Le tableau de Karnaugh se fait de la manière suivante: En résumé la synthèse d’une function logique peut se faire en suivant les étapes suivantes: Etape 1 : Lecture et analyse de l’énoncée de la function. Etape 2 : Ecriture de la function sous forme canonique d’une table de vérité. Etape 3 : Simplification de l’expression de la function par la method de Karnaugh Etape 4 : Réalisation du logigramme. Exemple 1: 13 Module : Technique numérique INSFP DE MEDEA Exemple 2: Les tableaux de Karnaugh suivants montre les différentes simplification possibles, selon les groupements des 1. 14 uploads/Philosophie/ cours-s1-ei-logiquecombinatoire-chapitre-ii.pdf