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Département Année: 199 /9/ Génie Industriel AUTOMATISME et Maintenance IUT St D

Département Année: 199 /9/ Génie Industriel AUTOMATISME et Maintenance IUT St DENIS cours: La Logique Introduction: L'algèbre logique ou algèbre de Boole ( mathématicien Anglais 1815-1864 ) fut utiliser à partir de 1850 pour expliciter le fonctionnement de systèmes automatiques. Nous dissocierons deux types de logique. Logique Combinatoire: La sortie du système ou le résultat de la fonction logique qui représente le système dépend uniquement de l'état des entrées. Logig ne Ség neotieUe: La sortie du système ou le résultat de la fonction logique qui représente le système dépend des entrées, mais aussi des sorties à l'instant précédent l'instant considéré. Département Génie Industriel et Maintenance AUTOMATISME Année: 199 /9 IUT StDENIS cours: La Logique 1 La Logique Combinatoire: 1.1 Définition: C'est donc l'étude de la sortie du système ou le résultat de la fonction logique quireprésente ce système en fonction uniquement de l'état des entrées et des opérateurs utilisés. 1.2 Al2èbre de Boole: 1.2.1 Axiomes: Un ensemble E est muni d'une structure d'algèbre de Boole si: On définit dans cet ensemble: - Une relation d'équivalence notée - Deux lois de composition interne notées: - Une opération" Unaire ": Loi qui a tout élément a de E associe un élément unique a appartenant à E appelé complément de a (loi de complémentation) Si cet ensemble possède au moins deux éléments notés 0 et 1 (cas généra!) complément l'un de l'autre 0 = 1 ; 1 = 0 GJ o addition booléenne multiplication booléenne OU ET 1.3 Structure d'algèbre binaire des circuits électriques: 1.3.1 Définitions: valeur 1 valeur 0 réaiisableà l'aide d'un inverseur. (Jo. Ccr réalisable par le montage de contacts en parallèle. réalisable par le montage de contacts en série. o El - Définitions des opérations: - Relation d'équivalence: Département Génie Industriel et Maintenance AUTOMATISME Année: 199 19 IUT St DENIS cours: La Logique 1.3 Structure d'aJgèbre binaire des circuits électriques: (suite) 1.3.2 Vérification des axiomes: remarque: on ne peut démontrer un axiome mais le vérifier. o 1 ~ .... -€; !b l.- -t 0 ~ 0..) "'-..:.:._--------- ------ * + - existence d'un élément neutre: 1+(2*3)= a + ( b*c) = remarque: vérifions que l'algèbre de Boole est différent de l'algèbre des entiers naturels ( N ). - commutativité: + [ii] * ~ ~ • - associativité: + @] * El - distributivité: + I A5 1 * ~ - complémentation: + * IUT St DENIS Année: 1991 191 f,.. r J.-.;:<. ,[cJU,.C-.'b'\, if{V.À""\-S<l c. = AUTOMATISME ----, = C Th9 Th8 Th7 - - Théorème de De MORGAN La Logique 1.3.3 Théorèmes: , - idempotence p:v.eJ. GJ A + A) Cl.o-i - a- ThI - [il Th2 C\..~CL - Cl. - - absorption: GJ Th3 [i] TM CL Th5 Gl Th6 - relation avec les éléments neutres: - involution: 1.3 Structure d'algèbre binaire des circuits électrigues:( suite) cours: Département Génie Industriel et Maintenance ;unéricain ~ Uç~ L-=<î, =-t>c= ~- L V ~~ . ~ V 10 ~- b~- ~~=- I?,!/ =V: b Département Génie Industriel et Maintenance AUTOMATISME Année: 199 /9 IUT St DENIS cours: La Logique 1.4 Fonctions Logiques de base: 1.4.1 Tableau récapitulatif: Fonction Equ:ltIon TJbl~ tk ,.rile Schéma élccmque Symbole N.F. Q.. L r-~ OUI L=/J 0 0 ~~ '" .-1 ~ (l. Q.. L , .~. f &cl \ 0 .A A ().. L~â. a. ._~ VON L=ü 1 0 0 L~ a.. b l- L-:.a..b 0 () ~~ ~ 0 'b !. L CT 0 .A 0 ~....-- -1 Q c .A '" -1 ~ b L 0 L~Cl~b 0 () 0 ~~ ou L=u"'o 0 ~ -1 b . =<i-l-b -1 0 "" "\ -1 ~ ëi b l. .... l\. JC">. 1 C 0 .~ W8 '01 1 ~~ VAND L=M () ..t CT·NON -1 0 j b 1 '\ ... Q. b L - - 0 0 'Î 0. b a.. VOR L=(~ 0 .1\ 0 ~ ~l- OU-NON - , • 0 0 i : a: •b 0 ) .A lÂ..b L. ' ~ L -- cl.. U-l).., '. ~ çy ~ ù 0 I~\ ().. !Irp-~~ ùU L = (1 <::\!J - L ~ .) " ~"CIUSII L =<10 "'(IU /.h l~ - 1 • l'Ir C ""J .l. (l'", :JV.lr . 1 0...'J,... - - ! -:l .----, 0 0 l... --' 1 c ..... --~ l "ON v J 0 P, - r- L = (1 " . 1If/nIDIfIOIl "'\ ,:) 1 '1 ----=--' ./' , Ù 1 Département Génie Industriel et Maintenance AUTOMATISME Année: 199 /9 IUT St DENIS cours: La Logique 1.4 Fonctions Logiques de base: 1.4.2 Evaluation d'une fonction logique: 1.4.2.1 Définition: On appelle fonction logique une combinaison de variables booléennes reliées par des opérateurs vus précédemment. 1.4.2.2 Exemple: Soit - . y =(a + b ) * ( a+ b ) + C ( a+ b ) Cl-tt, 1.4.2.3 Sch~ma logique appelé également logigramme : o..oC 1 1.4.2.4 Simplification: Elle sera éffectué algébriquement. CA. + L oc.. c.. ë:-+b ~ y \ Département Génie Industriel et Maintenance AUTOMATISME Année: 199 J9' IUT St DENIS cours: La Logique 1.5 Numération Binaire: La base de cene numération est la base 2, elle est composée des valeurs ( 0, 1 ). Un élément binaire est appelé: Un Bit (Binary Digit) Un nombre binaire est une suite de 0 et de 1 écrit de droite à gauche, du poids faible (LSB ) au poids fort (MSB). La longueur d'un mot binaire dépend du nombre de bits constituant ce mot. exemple: 4 bits> quartet 8 bits> octet 16 bits> 2 octets un mot de 8 bits: '. 100l11~ poids fort(MSB) 1 Z' ~poids faible(LSB) 0 1.5.1 Numération binaire naturel: .:/' .:.,'.:( L{' ,P.l}·"o~ tu \I~ J::,~ ~.. ~ 0' c..... " 't ~ «l...wo12 c'~ - @;' ~ ,\-S l~\~ ~ r-çA\~ Il 1-'( J1 \ ( 1)/100 !IliA 0 ~ ~ 1 -\-J ~l-\-.2 -= Q(j6 (Ao) lOb o OAAOOAAAO a b c d nO lig 2 5 = 8 2 L=4 2 1 = 2 2u = 1 0 0 0 j, (0' ~ ~ u. Ji 1-:;' 1 -J >& - ) "0 2 ~ J 1) 3 0 " Q 0 4 ..p o .A ~ 5 0 -1 () 6 ~~ ~ J Il 7 . ~~ 0 D 0 8 0 J 9 ~ 0 ,.4 /) 10 v"" ) 0 • ,1 Il ~ il J 0 12 .~ .J ) , vi 13 l' D 14 ~ '1 " 15 oy Année: 199' /9' IUT St DENIS Département Génie Industriel AUTOMATISME et Maintenance cours: La Logique 1.5 Numération Binaire: ( suite ): 1.5.2 Numération binaire codée décimal: ( Ben) Des différentes valeurs prises par les 4 variables binaires, on ne conserve que les valeurs binaires correspondant aux valeurs décimales de 0 à 9 .Les autres valeurs ne sont pas utilisées. C'est le code B.C.D. ( binaire codé décimal). a b c d val 2 3= 8 2 L=4 2 1= 2 2u = 1 dec a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x x x x x x Année: 199 /9' Génie Industriel Département AUTOMATISME et Maintenance IUT St DENIS cours: La Logique 1.5 Numération Binaire: ( suite ): 1.5.3 Numération binaire réfléchi ou code GRAY: nO lig 2u a b c ct ~vP!o';~·~ \~' 2-<= 4 2 J= 8 2 1= 2 = 1 (0''"' Q 0 10 0 0' . " , -1 .- .À} 0 0 0 ~ ~; ) c.? A 0 , ~ '1 \'f -J ') //3 c ~I \ 1 0 i 0 .,.1 Û 4 1 .,J .-\ 5 /1 0 ri' \O'~ 6 0 li D ;) ~, 7 8 /1 0 ~}\fl~ ~ 1 91 èY .f J ,., " 6 0 9 D '" ~ 10 '" J J J j Il 0 Q ) 0 12 .A 1 J .A 0 13 1 ;1 0 0 14 ) 0 ù 15 Il Nous pouvons observer:Entre la ligne 1 et 2 il ya un effet de miroir pour a Entre la ligne 3 et 4 il Ya un effet de miroir pour a et b ect.. Ce binaire réfléchi sera utilisé dans les tableaux de KARNAUGH car une seule variable change d'état en passant d'une ligne à l'autre. Cette forme évite les aléas entre deux valeurs. Département Génie Industriel et Maintenance AUTOMATISME Année: 199 19' IUT St DENIS cours: La Logique 1.6 Simplification par tableau de Karnaugh: 1.6.1 Présentation: 1.6.2 Exemple de représentation: L =â.b.c + a.b.c.+a.b.c.+.a.b.c.+.a.b.c. Représentation possible: Soit l'équation: Le tableau de Kamaugh , tout comme la table de vérité, est un instrument qui met en évidence les rapports entre les entrées logiques et la sortie recherchée. Prenons un exemple avec un tableau de Kamaugh à deux entrées. (a et b ) Chaque variable ne pouvant prendre que deux valeurs 0 ou l , il Ya donc 22 = 4 possibilités au total que nous pouvons représenter dans un tableau. ,.Y -; ~ e uploads/Philosophie/ 2-numeration.pdf