PSI* — 2018/2019 Le 09/03/2019. D.S. 5 (4 heures) N.B. : le candidat attachera

PSI* — 2018/2019 Le 09/03/2019. D.S. 5 (4 heures) N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les calculatrices sont interdites L’épreuve est constituée d’un problème en cinq parties largement indépendantes. Lorsqu’un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, il est demandé au candidat d’indiquer précisément le numéro de la question utilisée. Problème Soit p ∈]0, 1[. On pose q = 1 −p. On considère un automate qui génère successivement les lettres C ou P jusqu’à obtenir une certaine séquence prédéfinie. On suppose que pour tout n ∈N∗, l’automate génère la n-ième lettre à l’instant n de façon indépendante de toutes les générations précédentes. On suppose également qu’à chaque génération, les lettres P et C ont des probabilités p et q (respectivement) d’être générées. Suivant les parties considérées, on définit différents niveaux que l’automate peut atteindre. On considère dans tous les cas que l’automate est initialement au niveau 0. On se propose alors d’étudier essentiellement l’existence de l’espérance et de la variance de la variable aléatoire correspondant au temps d’attente de la séquence prédéfinie à travers sa série génératrice. Pour cette étude probabiliste, on mobilise diverses propriétés analytiques (surtout sur les séries entières) et quelques propriétés d’algèbre linéaire. Dans les parties I, II et V, on examine le temps d’attente pour les séquences C puis CC, puis CPC et CCPPC. La partie II est indépendante de la partie I et traite de questions préliminaires sur les séries entières qui seront investies dans les parties III et V. La partie IV est indépendante des parties précédentes et traite les questions préliminaires d’algèbre linéaire qui servent exclusivement dans la partie V. La partie III ne dépend de la partie I que par la question Q3 et de la partie II que par la question Q8. La partie V utilise seulement la question Q9 de la partie II et la partie IV. Pour n ∈N∗, on note Pn l’événement « l’automate génère la lettre P à l’instant n » et Cn l’événement « l’automate génère la lettre C à l’instant n ». Partie I — Étude d’un cas simple Dans cette partie, on dit que l’automate passe du niveau 0 au niveau 1 dès qu’il génère la lettre C. Si, en revanche, il génère la lettre P, alors il reste au niveau 0. L’expérience s’arrête dès que l’automate a atteint le niveau 1. On résume l’expérience par la figure 1 suivante : Figure 1 On note Y l’instant où, pour la première fois, l’automate atteint le niveau 1. PSI* — 2018/2019 — D.S. 5 (4 heures) Page 2/5 On admet que Y est une variable aléatoire sur un espace probabilisé (Ω, A, P) telle que Y (Ω) ⊂N∗. On note GY la série génératrice de Y et RY son rayon de convergence. On sait alors que RY  1 et que : ∀t ∈] −RY , RY [, GY (t) = E(tY ) = +∞  n=1 P(Y = n)tn. Q1. Reconnaître la loi de Y et préciser en particulier P(Y = n) pour n ∈N∗. Q2. Montrer que RY = 1 p > 1 et que : ∀t ∈  −1 p, 1 p  , GY (t) = qt 1 −pt. Q3. En déduire l’existence et les valeurs de l’espérance E(Y ) et de la variance V(Y ). Partie II — Séries entières Soit z ∈C et a ∈C∗. Pour n ∈N, on pose un(a) = − 1 an+1. Q4. Montrer que  un(a)zn est une série entière de rayon de convergence égal à |a|. Q5. Montrer que si |z| < |a|, on a : 1 z −a = +∞  n=0 un(a)zn. Soit a, b et λ des nombres complexes non nuls. Dans les questions Q6 à Q8, on suppose que |a| < |b|. On définit alors, pour tout n ∈N, vn = n  k=0 uk(a)un−k(b) et, pour tout réel t tel que |t| < |a|, f(t) = λt2 (t −a)(t −b). Q6. Montrer que l’on a, pour tout n ∈N : vn = 1 b −a  1 an+1 − 1 bn+1  . Q7. En déduire que le rayon de convergence de  vnzn est égal à |a| et que si |z| < |a|, alors 1 (z −a)(z −b) = +∞  n=0 vnzn. Q8. Justifier que f est développable en série entière au voisinage de 0 et que la série entière qui lui est associée possède un rayon de convergence Rf tel que Rf = |a|. Soit a, b, c et λ des nombres complexes non nuls. On suppose que : |a|  |b|  |c|. Pour tout réel t tel que |t| < |a|, on pose : g(t) = λt3 (t −a)(t −b)(t −c). Q9. Justifier que g est développable en série entière au voisinage de 0 et que la série entière qui lui est associée possède un rayon de convergence Rg tel que Rg  |a|. PSI* — 2018/2019 — D.S. 5 (4 heures) Page 3/5 Partie III — Étude d’un cas intermédiaire Dans cette partie, on suppose que l’automate passe du niveau 0 au niveau 1 en générant la lettre C. De même, l’automate passe du niveau 1 au niveau 2 en générant la lettre C. Si, en revanche, il génère la lettre P alors qu’il est au niveau 0 ou 1, il retombe au niveau 0. L’expérience s’arrête dès que l’automate a atteint le niveau 2, c’est-à-dire dès que l’automate aura généré la séquence CC. On résume l’expérience par la figure 2 suivante : Figure 2 On note Z l’instant où, pour la première fois, l’automate atteint le niveau 2. Ainsi Z est le temps d’attente de la séquence CC. On admet que Z est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) telle que Z(Ω) ⊂N∗. Pour tout n ∈N∗, on note pn = P(Z = n). On note GZ la série génératrice de Z et RZ son rayon de convergence. On rappelle que RZ  1. Q10. Calculer p1, p2 et p3. Q11. Montrer que, pour tout n  3, on a : pn = p pn−1 + pq pn−2. Q12. En déduire que pour tout t ∈[−1, 1], on a :  1 −pt −pqt2 GZ(t) = q2t2. Pour t ∈R, on note Q(t) = 1 −pt −pqt2, ∆= p2 + 4pq, a = √ ∆−p 2pq et b = − √ ∆−p 2pq . Q13. Montrer que, pour tout t ∈R, Q(t) = −pq(t −a)(t −b). Q14. Montrer que 1 < |a| < |b|. Pour tout réel t tel que |t| < |a|, on définit f(t) = q2t2 1 −pt −pqt2 . Q15. Montrer à l’aide de la question Q8 que f est développable en série entière au voisinage de 0, que sa série entière associée est GZ et que RZ = |a|. Q16. Montrer que Z admet une espérance et une variance, puis que E(Z) = q−1 + q−2. Q17. Vérifier, à l’aide des questions Q3 et Q16, que E (Z) ≥E (Y ) + 1, où Y est la variable aléatoire définie en partie I. Q18. Pouvait-on prévoir le résultat précédent ? PSI* — 2018/2019 — D.S. 5 (4 heures) Page 4/5 Partie IV — Algèbre linéaire On considère les matrices I4 =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1    , A =     p 0 p 0 q q 0 0 0 p 0 0 0 0 q 0    et L =     1 0 0 0    . Soit t ∈R. On note χA le polynôme caractéristique de A, si bien que χA(t) est le déterminant de tI4 −A. Q19. Montrer que 0 est valeur propre de A et donner un vecteur propre de A associé à la valeur propre 0. Q20. Trouver les réels α, β et γ tels que, pour tout t ∈R, χA(t) = t4 −t3 + αt2 + βt + γ. On dit que la matrice colonne S =     S0 S1 S2 S3    est solution de (Et) lorsque S = tAS + L. Pour tout t ∈R, on note ψA(t) le déterminant de la matrice I4 −tA. Q21. Vérifier que pour tout t ∈R, ψA(t) = −p2qt3 + pqt2 −t + 1. Q22. En déduire que, pour t au voisinage de 0, l’équation (Et) possède une unique solution S. Pour tout k ∈[ [1, 4] ], on note Uk la k-ième colonne de I4 −tA. On note B la base canonique de M4,1(C) et on suppose que la matrice colonne S =     S0 S1 uploads/Philosophie/ 18-ds-5.pdf

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