Fiche professeur PREMIER PROBLEME : Un bassin contient un volume V égal à 100 L
Fiche professeur PREMIER PROBLEME : Un bassin contient un volume V égal à 100 L d’eau, dans lesquels sont dissous 10 kg de sel. On réalise l'expérience de dilution décrite ci-dessus avec un débit d'arrivée d'eau pure et un débit d'évacuation du mélange identiques d = 10 L/min. Le mélange est considéré à tout instant homogène. Au bout d’une heure, quelle quantité de sel reste-t-il dans le bassin ? Approche par les suites (modèle discret) : On décompose une heure en n étapes de durée T = n 60 minutes. On peut prolonger évidemment l'expérience au-delà d'une heure. Premier modèle discret : Au cours de chaque étape : - on ferme l'arrivée d'eau pure, - on laisse s'écouler le mélange par l'évacuation avec un débit constant d (la concentration en sel reste alors constante pendant l'évacuation), - on rajoute instantanément l'eau pure. On note k S la quantité de sel (en kg) présente dans le bassin à la fin de la k-ième étape, avec 0 S = 10. On note k C la concentration de sel (en kg/ L) mesurée à la fin de la k-ième étape, avec V S C k k = (où V = 100 L). On ferme l'arrivée d'eau pure et on ouvre le robinet d'évacuation. La concentration k C reste constante dans le bassin et dans le liquide évacué. Le volume de solution qui s'écoule pendant T minutes est : T × d en litres (avec les données du problème, il faut prendre n > 6, sinon on vide le bassin). La quantité de sel évacué est donc de : ( ) T T × × = × × d V S d C k k . A la fin de la (k + 1)-ième étape, il reste donc : − = × × − = + T 1 T 1 V d S V d S S S k k k k kg de sel. On reconnaît la définition d'une suite géométrique de raison T 1 V d − . Alors : k k V d S S − × = T 1 0 pour tout entier k supérieur où égal à 0. Avec les données du problème : k k k S − × = − × = 10 T 1 10 T 100 10 1 10 pour 0 ≥ k , où T = n 60 et n > 6. Au bout d'une heure : k = n et n n S − × = 10 T 1 10 . Quelques exemples : Si T = 1 min alors n = 60 et 01797 , 0 60 ≈ S kg, soit environ 18 g. Si T = 6 1 min (10 secondes) alors n = 360 et 02357 , 0 600 ≈ S kg, soit environ 23,6 g. Si T = 60 1 min (1 seconde) alors n = 3600 et 02466 , 0 3600 ≈ S kg, soit environ 24,7 g. A ce stade, on peut faire remarquer à des élèves de première que le résultat semble tendre vers une valeur proche de 25 g. Au niveau terminale S : − × = − × = n n n n e n S 6 1 ln 10 6 1 10 . on pose : n X 6 1− = , alors X n − = 1 6 et : 02479 , 0 10 10 lim lim 6 1 ln 6 1 ≈ × = × = − − → ∞ + → e e S X X X n n kg en utilisant : 1 1 1 ln ln lim 1 = − − → X X X (nombre dérivé de la fonction ln en 1). On obtient alors une valeur limite au bout d'une heure d'environ 24,8g proche de 3600 S . Deuxième modèle discret : Au cours de chaque étape : - on ferme le robinet de vidange, - on laisse s'écouler de l'eau pure avec un débit constant d (la quantité en sel reste alors constante pendant cette étape), - on vidange instantanément le bassin pour ne garder qu'un volume V. On reprend les mêmes notations : T = n 60 , k S est la quantité de sel (en kg) présente dans le bassin à la fin de la k-ième étape (après la vidange) et k C est la concentration en sel du bassin à la fin de la k-ième étape (avant la vidange et après la vidange). A la fin de la (k + 1)-ième étape, avant la vidange, le volume de liquide dans le bassin vaut : T × + d V . La concentration en sel dans le bassin est donc : T 1 × + = + d V S C k k . Ensuite, on évacue le surplus de T × d litres. La concentration reste égale à 1 + k C . Il reste alors, dans le bassin, une quantité de sel égale à : T 1 T 1 1 V d S V d V S V C S k k k k + = × + = × = + + (en kg). On reconnaît à nouveau la définition d'une suite géométrique de raison T 1 1 V d + . Alors : k k V d S S + = T 1 0 pour 0 ≥ k (Il peut exister une contrainte sur n liée au volume totale du bassin qui ne doit pas déborder…) Avec les données du problème : k k S + = 10 T 1 10 pour 0 ≥ k où T = n 60 . Au bout d'une heure : k = n et n n S + = 10 T 1 10 . Quelques exemples : Si T = 1 min alors n = 60 et 03284 , 0 60 ≈ S kg, soit environ 32,8 g. Si T = 6 1 min (10 secondes) alors n = 360 et 02604 , 0 360 ≈ S kg, soit environ 26 g. Si T = 60 1 min (1 seconde) alors n = 3600 et 02491 , 0 3600 ≈ S kg, soit environ 24,9 g. Au niveau terminale S : + − = + = n n n n e n S 6 1 ln 10 6 1 10 . On pose n X 6 1+ = , alors 1 6 − = X n et : 6 1 ln 6 1 10 10 lim lim − − − → ∞ + → = × = e e S X X X n n . On retrouve le même résultat que précédemment. Approche par les fonctions (modèle continu) : On note S(t) la quantité de sel (en kg) dans le bassin à l'instant t (en minutes) et C(t) la concentration mesurée (en kg/ L) dans le bassin à l'instant t avec V t S t C ) ( ) ( = . On observe ce qui se produit entre les instants t et t t ∆ + où t ∆ représente une durée très courte. A la date t t ∆ + , il y a S( t t ∆ + ) kg de sel dans le bassin. On considère le volume constant car le débit d'écoulement est le même que le débit d'arrivée d'eau pure, alors : V t t S t t C ) ( ) ( ∆ + = ∆ + . La quantité de sel diminuant, on a également : 0 ) ( ) ( > ∆ + − t t S t S . Entre les dates t et t t ∆ + , la quantité d'eau arrivée et la quantité de liquide écoulé est la même et vaut : t d ∆ × litres. On s'intéresse à la concentration en sel du volume de liquide écoulé : elle est forcément comprise entre C(t) et C( t t ∆ + ), avec ) ( ) ( t t C t C ∆ + > , et vaut : t d t t S t S ∆ × ∆ + − ) ( ) ( . Alors : V t S t d t t S t S V t t S ) ( ) ( ) ( ) ( ≤ ∆ × ∆ + − ≤ ∆ + , d'où : V t t S d t t S t t S V t S d ) ( ) ( ) ( ) ( ∆ + − ≤ ∆ − ∆ + ≤ − . Lorsque t ∆< 0, on tient uploads/Marketing/ dilution-professeur.pdf
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- Publié le Apv 21, 2022
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