J.M -FONCTIONS LOGARITHMES - 2bac-PC 0.1 Fonction Logarithme N´ ep´ erien D´ efi

J.M -FONCTIONS LOGARITHMES - 2bac-PC 0.1 Fonction Logarithme N´ ep´ erien D´ efinition La fonction x 7− →1 x est continue sur l’intervalle ]0, +∞[, donc elle admet une fonction primitive qui s’appelle la fonction logarithme n´ ep´ erien. On la note par : ln et elle v´ erifie : ln(1) = 0. Remarque ln : R∗ + − →R x 7− →ln(x). (∀x ∈R∗ +) (ln)′(x) = 1 x ln(1) = 0. Exemple D´ eterminer dans chacun des cas le domaine de d´ efinition Df des fonctions suivantes : 1) f(x) = ln(2x −1) 2) f(x) = ln(x + 2) + ln(3 −x). D´ efinition 1) La fonction ln est strictement croissante sur l’intervalle ]0, +∞[. 2) ∀(x, y) ∈(R∗ +)2 : ln(x) = ln(y) ⇐ ⇒x = y. 3) ∀(x, y) ∈(R∗ +)2 : ln(xy) = ln(x) + ln(y). 4) ∀(x, y) ∈(R∗ +)2 : ∀n ∈N∗: ln  k=n ∏ k=1 (xk)  = k=n ∑ k=1 ln(xk). 5) ∀x ∈R∗ + ln 1 x  = −ln(x). 6) ∀(x, y) ∈(R∗ +)2 : ln x y  = ln(x) −ln(y). 7) ∀r ∈Q : ln(xr) = r ln(x). Preuve 1. . 4) Cette relation se d´ emontre en utilisant un raisonnement par r´ ecurrence. 5) Soit x ∈R∗ +, on a : ln(x) + ln 1 x  = ln  x1 x  . C’est ` a dire que ln(x) + ln 1 x  = ln(1), donc ln(x) + ln 1 x  = 0. D’o` u ln 1 x  = −ln(x). 6) Soient x et y des ´ el´ ements de R∗ +, on a : ln x y  = ln  x 1 y  = ln(x) + ln  1 y  = ln(x) −ln(y). 7) De la propri´ et´ e 4) on en d´ eduitt que (∀n ∈N∗) (∀x > 0) ln(xn) = n ln(x), de mˆ eme on a : ln(x−n) = ln  1 xn  = −ln(xn) = −n ln(x), et ln(x0) = ln(1) = 0. Donc (∀p ∈Z) ln(xp) = p ln(x). Soit r ∈Q o` u r = p q avec p ∈Z et q ∈N∗. On a : q ln(xr) = q ln(x p q ) = ln(xp) = p ln(x), d’o` u ln(xr) = p q ln(x), donc ln(xr) = r ln(x). Remarque Soient a et b deux nombres r´ eels strictements n´ egatifs, on a : ab > 0 et a b > 0, donc d’apr` es la propri´ et´ e caract´ eristique on a : ln(ab) = ln(|a|) + ln(|b|) et ln  a b  = ln(|a|) −ln(|b|). On a : (∀x ∈]0, +∞[) ln(x 1 2 ) = 1 2 ln(x) c’est ` a dire que (∀x ∈]0, +∞[) ln(√x) = 1 2 ln(x). En g´ en´ eral on a : (∀n ∈N −{0, 1}) (∀x ∈]0, +∞[) ln( n √x) = 1 n ln(x). Exemple Simplifier les expressions suivantes : 1) A = ln(8) −3 ln(2) 2) B = ln(3) + ln 1 3  3) C = ln( √ 2) −ln( 3 √ 25). Exemple R´ esoudre les ´ equations et les in´ equations suivantes : 1) ln(3x −6) = 0 2) ln(x −1) + ln(x + 4) = 0 2 ln(x) ≤ln(2x + 3) ln(3x2 −5x) ≤ ln(x) + ln(2). Proposition On a : lim x− →+∞ln(x) = +∞et lim x− →0+ ln(x) = −∞ Preuve 2. . Soit A > 0 donc il existe une infinit´ e de nombres entiers naturels n tels que ln(2n) > A c’est ` a dire que n > A ln(2), le plus petit de ces nombres est n0 = E  A ln(2)  + 1, donc on a : ln(2n0) > A. Il est claire que pour tout x > 2n0, on a : ln(x) > A car la fonction ln est strictement croissante sur R∗ +. Donc on a : (∀x > A)(∃B > 0) (x > B = ⇒ln(x) > A) il suffit de prendre B ≥2n0 par cons´ equent lim x− →+∞ln(x) = +∞. Pour calculer lim x− →0+ ln(x), on pose y = 1 x, on obtient : lim x− →0+ ln(x) = lim y− →+∞ln  1 y  = lim y− →+∞  −ln(y)  d’o` u lim x− →0+ ln(x) = −∞. Tableau de variation de la fonction ln On a vu que la foction ln est strictement croissante sur ]0, +∞[. x ln′(x) ln(x) 0 1 +∞ + −∞ +∞ +∞ 0 Le nombre e D’apr` es l’´ etude de la fonction ln ,elle est bijective de ]0, +∞[ vers R, d’o` u la proposition suivantes : Proposition L’´ equation ln(x) = 1 admet une solution unique sur ]0, +∞[, cette solution est d´ esign´ ee par : e o` u ln(e) = 1. Une valeur approch´ ee de nombre e est e ≈2, 718281828. Remarque On a : (∀r ∈Q) ln(er) = r. Applications 1) D´ eterminer le domaine de d´ efinition des fonctions suivantes : f(x) = ln(x + 1) ln(ln(x)) et g(x) = p 1 −ln(e −x) et h(x) = x p (ln(2x))2 −1 . 2) R´ esoudre dans R l’´ equation : (ln(x))3 −2(ln(x))2 + 3 = 0. 0.1.1 Les branches infinies Proposition 1) Dans un rep` ere orthonorm´ e, l’axe des ordonn´ ees est une asymptote de la courbe C repr´ esentative de la fonction logarithme n´ ep´ erien ln. 2) La courbe repr´ esentative de la fonction logarithme n´ ep´ erien ln admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses : lim x− →+∞ ln(x) x = 0. Preuve 3. . 1) On a : lim x− →0+ ln(x) = +∞, d’o` u le r´ esultat. 2) Consid´ erons la fonction f d´ efinie sur [1, +∞[ par : f(x) = ln(x) −√ x −1. f est d´ erivable sur ]1, +∞[, et on a : (∀x ∈]1, +∞[) f′(x) = 1 x − 1 2√ x −1 c’est ` a dire que f′(x) = 2√ x −1 −x 2x√ x −1 . qu’on peut ´ ecrire encore : f′(x) = (√ x −1 −1)2 2x√ x −1 , d’o` u la fonction f est strictement d´ ecroissante sur [1, +∞[. Et comme f(1) = 0, alors (∀x ∈[1, +∞[) f(x) ≤0 c’est ` a dire que (∀x ∈[1, +∞[) ln(x) ≤√ x −1, et comme (∀x ∈[1, +∞[) ln(x) ≥0, alors : (∀x ∈[1, +∞[) 0 ≤ln(x) x ≤ √ x −1 x , d’autre part on a : lim x− →+∞ √ x −1 x = lim x− →+∞ r 1 x −1 x2 = 0. On en d´ eduit que : lim x− →+∞ ln(x) x = 0 par suite la courbe repr´ esentative de la fonction logarithme ln admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses. Applications Calculer les limites suivantes. 1) lim x− →+∞  ln(x + √x + 1) −√x  2) lim x− →−∞  ln(3x2 −2x + 1) + x  . 0.1.2 La concavit´ e du graphe de la fonction ln Proposition Le graphe de la fonction logarithme n´ ep´ erien ln est concave c’est ` a dire que sa concavit´ e est dirig´ ee vers les ordonn´ ees n´ egatives. Preuve 4. . La fonction ln est deux fois d´ erivables sur ]0, +∞[ et on a : (∀x ∈]0, +∞) f”(x) = −1 x2 et comme (∀x ∈]0, +∞) f”(x) < 0, alors le graphe de ln est concave. 0.1.3 La courbe de la fonction ln Soit Cln la courbe repr´ esentative de la fonction logarithme ln dans un rep` ere orthonorm´ e. On a : 1) ln(1) = 0 et ln′(1) = 1, donc l’´ equation de la tangente ` a la coube Cln au point A(1, 0) est y = x −1. 2) ln(e) = 1 et ln′(e) = 1 e, alors l’´ equation de la tangente ` a Cln au point E(e, 1) est y = 1 ex. . −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 0 f g h Exercice Soit f une fonction num´ erique d´ efinie par : f(x) = x −ln(x). 1) D´ eterminer Df et calculer les limites aux bornes. 2) ´ Etudier les variations de la fonction f. 3) ´ Etudier les branches infinies de la courbe (Cf). 4) Construiser dans un rep` ere orthonorm´ e la courbe (Cf). 0.1.4 Des limites importante Proposition 1) lim h− →0 ln(1 + h) h = 1 et lim x− →1 ln(x) x −1 = 1 et lim x− →0+ x ln(x) = 0. 2) Pour tout nombre rationnel r strictement positive, on a : lim x− →0+ xr ln(x) = 0 et lim x− →+∞ ln(x) xr = 0. Preuve 5. . Applications Calculer les limtes suivantes : 1) lim x− →−∞ r x2 ln  1 + 4 x2  2) lim x− →+∞ ln(x) ln |x2 −1| 3) lim uploads/Marketing/ cours-de-logarithme-2bac-pc.pdf

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• Publié le Apv 12, 2022
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