Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Universit´ e du Maine Master Ing´ enierie M´ ecanique et Acoustique Traitement

Universit´ e du Maine Master Ing´ enierie M´ ecanique et Acoustique Traitement de signal TP 3 : Densit´ e spectrale de puissance de signaux al´ eatoires stationnaires ergodiques 1. Evaluation d’estimateurs spectraux Objectif : Il s’agit de comparer plusieurs estimateurs de la densit´ e spectrale de puissance d’un signal al´ eatoire stationnaire et ergodique. Le signal dont on cherche la repr´ esentation fr´ equentielle est issu du ﬁltrage lin´ eaire d’un bruit blanc gaussien. Les coeﬃcients du ﬁltre ´ etant connus, la densit´ e spectrale th´ eorique l’est aussi. Les performances des divers estimateurs sont alors ´ eva- lu´ ees en d´ eterminant exp´ erimentalement leurs biais et leurs variances. R´ ef´ erence : Traitement num´ erique des signaux (M. Kunt), Presses polytech- niques romandes, 1984. Mots-cl´ es : Estimateurs de DSP, p´ eriodogrammes simple, moyenn´ e, modiﬁ´ e (Welch), corr´ elogramme, biais, variance Fonctions Matlab : sig aleat2.m, freqz.m, mean.m, var.m, psd.m, xcor.m Indications : • La fonction sig aleat2.m fournie, permet de g´ en´ erer les signaux al´ eatoires ` a ´ etudier, obtenus par ﬁltrage passe-bas, au moyen d’un ﬁltre de Cheby- shev, d’un bruit blanc gaussien de variance param´ etrable. La fonction retourne ´ egalement les coeﬃcients du ﬁltre. • La densit´ e spectrale de puissance th´ eorique d’un tel signal issu du ﬁltrage d’un bruit blanc par un syst` eme lin´ eaire de fonction de transfert H[m] est: SX[m] = Te σ2 |H[m]|2 o` u σ2 est la variance du bruit blanc et Te la p´ eriode d’´ echantillonnage. 1 • Le p´ eriodogramme simple, estimateur de la densit´ e spectrale de puis- sance (DSP) d’une s´ equence discr` ete {x[n]} ´ echantillonn´ ee sur N points avec une p´ eriode d’´ echantillonnage Te s’´ ecrit : ˆ SX(f) = |X(f)|2 N Te o` u X(f) est la transformation de Fourier de la s´ equence {xn} : X(f) = Te N−1 X n=0 x[n] e−2jπfn Te En pratique, le p´ eriodogramme simple s’obtient ` a partir d’un algorithme rapide (FFT) de Transform´ ee de Fourier Discr` ete (TFD) retournant la s´ equence {X[m]} ` a partir de la suite temporelle {x[n]}. Il s’´ ecrit alors : ˆ SX[m] = Te |X[m]|2 N Les divers p´ eriodogrammes peuvent ˆ etre obtenus ` a l’aide de la fonction psd.m. L’utilisation suivante permet de d´ eterminer la DSP ˆ SX[m] en utilisant le p´ eriodogramme simple : [ ˆ S, f] = psd(x, N, fe, ones(1, N), 0); ˆ SX = Te ˆ S; Le premier argument contient le signal ` a ´ etudier, le deuxi` eme indique le nombre de points pour l’algorithme FFT, le troisi` eme, la fr´ equence d’´ echantillonnage, le quatri` eme stipule la fenˆ etre de pond´ eration utilis´ ee avec son nombre de points, le cinqui` eme, le nombre de points de recou- vrement entre les tron¸ cons lorsqu’ils sont plusieurs. La fr´ equence d’´ echantillonnage n’est pas utilis´ ee dans le calcul du p´ erio- dogramme mais permet de retourner l’axe des fr´ equences dans la variable f : l’intervalle [0, fe/2] (N/2+1 ´ echantillons). C’est pourquoi l’obtention du p´ eriodogramme th´ eorique n´ ecessite la multiplication par la p´ eriode d’´ echantillonnage Te. 2 • Le p´ eriodogramme moyenn´ e ˆ SB X[m] (ou de Bartlett) est un second esti- mateur de densit´ e spectrale de puissance. Il consiste ` a d´ ecouper le signal d’´ etude en plusieurs tron¸ cons adjacents et ` a moyenner les diﬀ´ erents p´ e- riodogrammes simples calcul´ es sur chaque tron¸ con. L’estimateur peut ˆ etre calcul´ e ` a l’aide de la fonction Matlab psd.m utilis´ ee ainsi : [ ˆ SB, f] = psd(x, M, fe, ones(1, M), 0); ˆ SB X = Te ˆ SB; Chaque tron¸ con comporte M points. Le nombre de moyennes eﬀectu´ e est ici N/M. L’axe des fr´ equences [0, fe/2] comporte M/2 + 1 ´ echantillons. • Le p´ eriodogramme de Welch ˆ SW X [m] est une variante de l’estimateur pr´ ec´ edent. D’une part les fenˆ etres de pond´ eration ne sont pas rectangu- laires, d’autre part les tron¸ cons se chevauchent. Le p´ eriodogramme mo- diﬁ´ e est normalis´ e par la puissance de la fenˆ etre de pond´ eration utilis´ ee. Il est obtenu par la commande suivante : [ ˆ SW, f] = psd(x, M, fe, hanning(M), M/2); ˆ SW X = Te ˆ SW; Ici, la fenˆ etre utilis´ ee est celle de Hanning pour un recouvrement (pr´ econi- s´ e par Welch) de 50 % du tron¸ con, soit M/2 ´ echantillons. • Le corr´ elogramme ˆ SC X[m] est ´ egalement un estimateur de densit´ e spec- trale de puissance. Il consiste ` a calculer la transform´ ee de Fourier de l’estimateur biais´ e ˆ RX[n] de la fonction d’autocorr´ elation du signal {x[n]} de N points pond´ er´ e par une fenˆ etre de Bartlett wB[n]. ˆ SC X[m] = Te M−1 X n=1−M ˆ RX[n] wB[n] e−2jπfn Te Le support temporel initial de l’estimateur d’autocorr´ elation [(1 −N)Te (N−1)Te] est ramen´ e ` a [(1−M)Te, (M−1)Te] avec M ≪N. L’estimateur biais´ e de la fonction d’autocorr´ elation est obtenue par la fonction xcorr.m avec l’option ’biased’ en argument d’entr´ ee. 3 • Il est ´ egalement possible de faire de l’analyse spectrale ` a partir d’une interface graphique appel´ ee par l’instruction sptool. Dans ce cas, il faut exporter le signal se trouvant dans l’espace de travail (menu ﬁle) puis d´ eterminer sa densit´ e spectrale de puissance (menu spectra, fonction cre- ate) en choisissant l’estimateur (m´ ethode FFT pour le p´ eriodogramme simple, m´ ethode Welch pour les p´ eriodogrammes moyenn´ e, modiﬁ´ e) sans oublier de param´ etrer l’analyse. • Le biais b ˆ S et la variance σ2 ˆ S d’un estimateur ˆ S s’´ ecrivent : b ˆ S = E[ ˆ S −S] σ2 ˆ S = E[( ˆ S −E[ ˆ S])2] Questions : • G´ en´ erez un signal al´ eatoire ` a l’aide de la fonction sig aleat2.m. D´ etermi- nez la densit´ e spectrale de puissance th´ eorique SX[m] ` a l’aide de la fonction freqz.m et visualisez-l` a (utilisez une ´ echelle logarithmique en ordonn´ ee avec l’instruction semilogy.m et limitez la visualisation sur l’axe vertical ` a l’intervalle [10−4/fe, 10/fe] par exemple avec axis.m). V´ eriﬁez que les caract´ eristiques fr´ equentielles sont en accord avec vos param` etres: fr´ equence de coupure, fr´ equence d’´ echantillonnage, variance du bruit blanc d’entr´ ee. Par la suite, il peut ˆ etre pratique de travailler avec une fr´ equence d’´ echantillonnage fe = 1 Hz (Te = 1 s). • Superposez sur le graphe pr´ ec´ edent la densit´ e spectrale de puissance du signal al´ eatoire ˆ SX[m] obtenue par un p´ eriodogramme simple ` a partir de votre propre programme ou des fonctions Matlab d´ edi´ ees. Calculez sur l’intervalle [0, fe/2] le biais de l’estimateur ainsi que sa variance ` a partir de votre r´ ealisation ˆ SX[m] et de la densit´ e spectrale th´ eorique SX[m]. Faˆ ıtes varier le nombre de points du signal. Que remarquez-vous sur le biais et la variance de l’estimateur ? 4 • Calculez les p´ eriodogrammes moyenn´ e et modiﬁ´ e et visualisez les den- sit´ es spectrales de puissance obtenues sur le mˆ eme graphe que la DSP th´ eorique. Etudiez l’inﬂuence du nombre de tron¸ cons, du type de fenˆ etre et du recouvrement (absence ou 50 %) sur le biais et la variance des es- timateurs. • D´ eterminez le corr´ elogramme et visualisez-le en comparant toujours avec la DSP th´ eorique. Jouez sur la taille de la fenˆ etre de Bartlett (M = N/8, N/16 ...) et calculez le biais et la variance de l’estimateur. 2. Extraction d’information Objectif : Il s’agit d’ˆ etre capable de remonter ` a certaines caract´ eristiques du signal ` a partir de sa densit´ e spectrale de puissance, notamment la vari- ance d’un bruit et l’amplitude d’une composante harmonique. Ensuite, il s’agit de comparer visuellement les densit´ es spectrales de puissance obtenues ` a partir d’estimateurs diﬀ´ erents et d’´ etudier l’inﬂuence du type de fenˆ etre de pond´ eration utilis´ ee lorsque l’analyse est confront´ ee au probl` eme de distribu- tion des fr´ equences (leakage). R´ ef´ erence : Traitement num´ erique des signaux (M. Kunt), Presses polytech- niques romandes, 1984. Mots-cl´ es : Amplitude d’une harmonique, variance d’un bruit, distribution des fr´ equences (leakage) Fonctions Matlab : sig aleat3.m Indications : • La fonction sig aleat3.m permet de g´ en´ erer un signal al´ eatoire station- naire ergodique constitu´ e de deux signaux harmoniques pures et d’un bruit blanc gaussien. Les amplitudes des sinuso¨ ıdes, la variance du bruit blanc sont param´ etrables par l’utilisateur. En ce qui concerne les fr´ equences, il est possible de choisir entre deux conﬁgurations : soit les fr´ equences correspondent ` a des points d’´ echantillonnage uploads/Management/ tp-3.pdf