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Cours d’Alg` ebre II Pr. Khatmi samira F´ evrier 2012 Table des mati` eres 1 Fo

Cours d’Alg` ebre II Pr. Khatmi samira F´ evrier 2012 Table des mati` eres 1 Formulation Math´ ematique 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Les ´ etapes de la formulation math´ ematique . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3.1 Les oiseaux migrateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3.2 Les camions de livraison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3.3 Histoire d’oeufs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 R´ esolution des syst` emes lin´ eaires 5 2.1 Pr´ eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 D´ eﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes d’un syst` eme . . . . 6 2.2 R´ esolution par la m´ ethode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.1 Principe de la m´ ethode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 R´ esolution par la m´ ethode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.1 D´ eterminant d’une matrice carr´ ee d’ordre 2 . . . . . . . . 10 2.3.2 D´ eterminant d’une matrice carr´ ee d’ordre 3 par la m´ ethode de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.3 D´ eterminant d’une matrice carr´ ee d’ordre n > 2 par la m´ ethode de cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.4 Propri´ et´ es des d´ eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.5 Principe de la r´ esolution par la m´ ethode de CRAMER . . 15 2.3.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Produit scalaire et Espace euclidien 21 3.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1 D´ eﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.2 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Orthogonalit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.2 Familles orthogonales - Familles orthonormales . . . . . . . 27 i TABLE DES MATI` ERES 3.2.3 Sous-espace orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.1 D´ eﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.2 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Suppl´ ementaire orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.5 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ii Alg` ebre II Chapitre 1 Formulation Math´ ematique 1.1 Introduction Ce chapitre pr´ esente quelques exemples vous permettant de se familiariser avec la traduction ”sous forme math´ ematique”d’une situation ´ economique qui consiste ` a r´ ealiser l’objectif d’une entreprise sujette ` a une limitation de ressources. G´ en´ eralement les objectives des entreprises consistent ` a maximiser le proﬁt ou minimiser les coˆ uts. 1.2 Les ´ etapes de la formulation math´ ematique 1. Identiﬁer les variables de d´ ecision du probl` eme : les inconnues qu’on cherche pour atteindre l’objectif de l’entreprise et les repr´ esenter sous forme sym- bolique (Par exemple x1; x2). 2. Identiﬁer les restrictions relatives aux variables de d´ ecision ` a cause de la li- mitation des ressources qui peuvent ˆ etre exprim´ ees par un ensemble d’´ equa- tions lin´ eaires. Remarque 1.2.1. Les param` etres du probl` eme en dehors des variables de d´ eci- sions doivent avoir une valeur connue avec certitude. 1.3 Exemples On pr´ esente dans cette section une s´ erie d’exemples permettant d’introduire et d’expliciter la notion de formulation math´ ematique. 1.3.1 Les oiseaux migrateurs Des oiseaux, fatigu´ es d’une longue migration, se reposent sur les branches hautes et basses d’un arbre. Un oiseau d’une branche du haut qui avait le sens 1 Formulation Math´ ematique de l’observation et de bonnes capacit´ es d’arithm´ etique cria ` a l’un plac´ e sur une branche du bas : Si je viens te rejoindre nous serons autant en haut et en bas mais si c’est toi qui viens alors nous serons deux fois plus nombreux qu’en bas Combien d’oiseaux y a-t-il sur les branches hautes et basses de l’arbre ? 1. Les variables de d´ ecision • x : le nombre d’oiseaux sur les branches du haut. • y : le nombre d’oiseaux sur les branches du bas . 2. Les contraintes ´ ecomiques • Si je viens te rejoindre nous serons autant en haut et en bas : x −1 = y + 1 • Si c’est toi qui viens alors nous serons deux fois plus nombreux qu’en bas : x + 1 = 2(y −1) Le syst` eme d’´ equations lin´ eaires s’´ ecrit : R´ esoudre x −y = 2 x −2y = -3 1.3.2 Les camions de livraison Deux camionnettes livrent du sable sur un chantier de travaux publics. La pre- mi` ere livre 2 tonnes ` a chaque voyage, l’autre 3 tonnes. Une fois livr´ ee la quantit´ e command´ ee, un des chauﬀeurs dit ` a l’autre : ” On a fait, ` a nous deux, 30 voyages et on a livr´ e autant chacun ” Combien chaque camion a-t-il fait de voyages et quelle ´ etait la quantit´ e command´ ee ? 1. Les variables de d´ ecision • x : le nombre de voyages du camion qui transporte 2 tonnes. • y : le nombre de voyages du camion qui transporte 3 tonnes. 2. Les contraintes ´ economiques • On a fait, ` a nous deux, 30 voyages : x + y = 30 • on a livr´ e autant chacun : 2x = 3y Le syst` eme d’´ equations lin´ eaires s’´ ecrit : R´ esoudre x + y = 30 2x −3y = 0 2 Alg` ebre II 1.3 Exemples 1.3.3 Histoire d’oeufs Un beau matin, jour du march´ e, un fermier cherche ` a vendre 40 de ses din- donneaux, 50 uploads/Management/ manuel-s4.pdf