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Loi binomiale 2015. Dans une population d’eﬀectif très élevé, 90% des individus

Loi binomiale 2015. Dans une population d’eﬀectif très élevé, 90% des individus sont aptes à reconnaitre le goût du phénylthiocar- bamide. On prélève au hasard un échantillon de 10 individus. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre d’individus inaptes à reconnaitre le goût du phénylthiocarbamide. 1) Quelle est la loi de probabilité de X ? Justiﬁer votre réponse. 2) Déterminer les probabilités des événements suivants : 2.1) aucun individu n’est inapte ; 2.2) un individu au moins est inapte ; 2.3) deux individus sont inaptes. 3) On prélève maintenant un échantillon de taille n = 40 ; calculer p(X = 2) et P(X < 3). EXERCICE 1 On s’intéresse aux cinq expériences aléatoires décrites ci-dessous et aux variables qui y sont déﬁnies. 1) Un voyageur prend le train chaque jour de travail. Le train arrive en retard à la gare de destination avec une probabilité p = 0,27. On note X1 la variable aléatoire associant à une semaine de travail de 5 jours le nombre de retards du train. 2) Une personne joue au jeu de cartes suivant. Il tire une carte d’un jeu de 52 cartes. S’il obtient une ﬁgure (valet, dame ou roi), il gagne 15 euros, sinon il en perd 5. Il remet ensuite la carte tirée dans le paquet. La partie est terminée quand il a joué 6 fois. On note X2 la variable aléatoire associant à chaque partie complète le gain du joueur. 3) Une entreprise de fabrication d’airbags pour automobiles teste un échantillon de sa production. Un coussin testé n’est plus utilisable et n’est pas remis dans l’échantillon. Les tests sont eﬀectués sur un lot de 200 airbags, dont 4 sont défectueux. On note X3 le nombre de coussins défectueux parmi une série de 20 test successifs. 4) Dans la rue, un saltimbanque propose aux passants de jouer au fameux jeu du palet caché. Un palet est placé sous un gobelet opaque retourné parmi trois. Au cours de manipulations rapides et complexes, le saltimbanque déplace (ou ne déplace pas) le palet dans un autre gobelet. A l’issue des manipulations, le joueur doit trouver sous quel gobelet se trouve le palet. S’il le trouve, il gagne 40 euros. Le prix d’inscription pour un coup est 15 euros. On suppose qu’il est tellement diﬃcile de suivre les manipulations du saltimbanque que le choix se fait au hasard et que chaque gobelet a autant de chances d’être choisi. On note X4 le gain algébrique moyen que peut espérer le saltimbanque après 10 parties. 5) Un (très) mauvais lanceur de ﬂéchettes joue au jeu d’argent suivant. S’il atteint le centre de la cible, il gagne 50 euros. S’il touche la cible à un autre endroit (cela lui arrive 7 fois sur quarante), il ne gagne rien et ne perd rien. Enﬁn, s’il ne parvient pas à atteindre la cible, ce qui est le cas 32 fois sur 40, il perd 10 euros. On note X5 le gain algébrique du joueur après 8 lancers. 1) Repérer parmi ces cinq expériences celles où la variable aléatoire suit une loi binomiale. Préciser le cas échéant les valeurs des paramètres n et p. 2) Pour chacune des variables aléatoires suivant une loi binomiale, calculer sa loi de probabilité sous la forme d’un tableau. 3) Calculer l’espérance mathématique de la variable dans chacun des cas de loi binomiale, et interpréter le résultat. 4) Calculer l’écart-type de chacune de chaque variable aléatoire suivant une loi binomiale. EXERCICE 2 1 Une boîte contient quatre boules rouges, trois boules vertes et sept boules jaunes. On tire simultanément deux boules de la boîte et on suppose que les tirages sont équiprobables. On considère les événements suivants : • A : « obtenir deux boules de même couleur » ; • B : « obtenir deux boules de couleurs diﬀérentes » 1) Calculer les probabilités P(A) et P(B). 2) On répète dix fois l’épreuve précédente en remettant les deux boules tirées dans la boîte après chaque tirage. Les dix épreuves aléatoires élémentaires sont donc indépendantes. On note X la variable aléatoire qui, à chaque partie de dix épreuves, associe le nombre de fois où l’événement A est réalisé. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. 3) Donner la loi de probabilité de X en donnant les résultats sous forme d’un tableau dans lequel on fera ﬁgurer des valeurs approchées arrondie avec un seul chiﬀre diﬀérent de zéro. 4) Calculer l’espérance mathématique E(X) de X. Que représente E(X) ? EXERCICE 3 Un élève se rend à son lycée en vélo distant de 3km. Il roule à une vitesse supposée constante et égale à 15km.h−1. Sur le parcours, il rencontre 5 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu’il soit vert est de 0,7 et la probabilité qu’il soit rouge est de 0,3. Un feu vert ne ralentit pas le cycliste, un feu rouge lui fait perdre une minute. 1) Soit X la variable aléatoire qui, à chaque parcours, associe le nombre de feux rouges rencontré par l’élève. Justiﬁer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2) Donner, en fonction de X, le temps T(en minutes) mis par le cycliste pour faire son trajet. 3) S’il part 13 minutes avant la sonnerie marquant le début des cours, calculer la probabilité qu’il arrive en retard. 4) Donner l’espérance mathématique de T. En déduire la vitesse moyenne (en km.h−1) pratiquée par ce cycliste sur ce trajet. EXERCICE 4 EXERCICE 5 2 Une usine fabrique des pièces dont 1,8% sont défectueuses. Le contrôle des pièces s’eﬀectue selon les probabilités conditionnelles suivantes : • sachant qu’une pièce est bonne, on l’accepte avec une probabilité de 0,97 ; • sachant qu’une pièce est mauvaise, on la refuse avec une probabilité de 0,99. 1) Quelle est la probabilité qu’une pièce soit défectueuse ? 2) 2.1) Montrer que la probabilité que la pièce soit défectueuse et acceptée est de 0,00018. 2.2) Montrer que la probabilité que la pièce soit bonne et refusée est de 0,02946. 2.3) Calculer la probabilité qu’il y ait une erreur dans le contrôle. 3) Si on contrôle 5 pièces, les contrôles étant considérés comme indépendants, quelle est la probabilité qu’il y ait : 3.1) exactement une erreur de contrôle ; 3.2) exactement deux erreurs de contrôle ; 3.3) au moins une erreur de contrôle ; 3.4) plus d’une erreur de contrôle ; 3.5) au plus une erreur de contrôle ; Dans une usine fabriquant des perceuses électriques, une étude statistique permet de constater que les perceuses présentent principalement deux défauts D1 et D2 et conduit à dégager les résultats suivants : La probabilité qu’une perceuse présente le défaut D1 est de 0,005. La probabilité qu’une perceuse présente le défaut D2 est de 0,01. Les événements D1 et D2 ne sont pas indépendants et la probabilité de D1 sachant D2 est de 0,25. On prend une perceuse au hasard. Calculer les probabilités des événements suivants : 1) La perceuse présente les deux défauts. 2) La perceuse présente au moins un défaut. 3) La perceuse ne présente aucun défaut EXERCICE 6 Une entreprise est spécialisée dans la vente de câbles métalliques. Ces câbles proviennent de deux fournisseurs A et B, dans les proportions de 60% et 40%, qui livrent l’un et l’autre deux catégories de produits désignés par C1 et C2. Dans les livraisons de A ﬁgurent 50% de câbles C1 et 50% de câbles C2 ; dans celles de B ﬁgurent 20% de câbles C1 et 80% de câbles C2. Sans distinction de provenances et de catégories, ces câbles sont proposés à la vente. On désigne par A∩C1 l’événement « un câble pris au hasard dans le stock de vente provient de A et il est de la catégorie C1 » . 1) Calculer la probabilité de cet événement A ∩C1 puis celle de l’événement B ∩C1. En déduire la probabilité, notée p(C1), qu’un câble pris au hasard dans le stock de vente soit de la catégorie C1 ? 2) Un câble est pris au hasard ; on constate que c’est un câble de la catégorie C1. Quelle est la probabilité qu’il provienne du fournisseur B ? EXERCICE 7 3 Trois usines A, B et C fournissent respectivement 25%, 35% et 40% des carreaux nécessaires à une entreprise de construction. Dans leurs livraisons, il y a en moyenne 5, 4 et 2% de carreaux inutilisables. Un carreau est choisi au hasard dans un stock important, ce carreau est défectueux. 1) Quelle est la probabilité qu’il soit défectueux ? 2) Quelles sont les probabilités Prob(A/D), Prob(B/D) et Prob(C/D) qu’il provienne des usines A, B ou C ? EXERCICE 8 On a observé que 2% des micros-ordinateurs d’un type donné tombaient en panne par mois d’utilisation. On suppose que les pannes sont indépendantes. On note X la variable aléatoire associant le nombre mensuel de pannes prévisibles d’un parc de 150 machines. ( On assimilera les choix des 150 machines à un tirage avec remise ). 1) Déterminer la loi de probabilité de X. uploads/Management/ loi-binomiale-se-rie-42015.pdf