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Devoir de controle n01 math bac math 2008 2009 mr ben ali

Lycée H P Manouba éme Math Année scolaire - Epreuve de Mathématiques Proposé par Mr BEN ALI DEVOIR DE CONTROLE N Date Vendredi Durée heures Exercice n pts Soit la fonction g dé ?nie sur par g x x sin x a Montrer que pour tout x de x ?? ? g x ? x b En déduire lim g x et lim g x x ? ? x ? ?? ? Soit la fonction f dé ?nie sur par GG repère orthonormé i j ?x f x ? ? g x ?x ?? x ? si x si x ? et Cf sa courbe représentative dans un a Montrer que f est continue en b Montrer que pour tout x x ? f x ? x x x ?? c En déduire lim f x Interprète géométriquement le résultat x ? ? Montrer que l ? équation f x admet une solution dans ?? ?? Exercice n pts Soit la suite un dé ?nie sur par u et un un ?? un un a Montrer que pour tout n de un ? ??n ?? b Montrer que la suite un est décroissante c En déduire que un est convergente et calculer sa limite a Montrer que pour tout n de on a un ?? ? un ?? b En déduire que pour tout n de un ?? ? ? ? ? n Retrouver alors lim x ? ? un n ? On pose Sn uk ??n ?? ? k a Montrer que pour tout n de ? on a n Sn ? n ?? ? ? n ? b En déduire lim x ? ? Sn et lim Sn n x ? ? Exercice n pts Soit ?? ? ? ? et pour tout z ?? on pose P z z ?? i sin z i sin z ?? i sin a- Calculer P ? ? ? En déduire le nombre complexe b véri ?ant P z ? ? z ?? ? z bz i sin b- Résoudre dans l ? équation P z On note z la solution réel et z et z les autre solutions c-Mettre z et z sous-forme exponentielle C G G Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé O u v on considère les points A M et M d ? a ?xes respectifs z z ei et z ?? e ??i a- Montrer que pour tout ?? ? ? ? le triangle AM M est isocèle en A b- Pour quelle valeur de le triangle AM M est équilatéral c- Quel est l ? ensemble des point M lorsque varie dans ? ? ? Exercice n pts Cette question constitue une restitution organisée de connaissances a- Soient a b c et d des entiers relatifs Démontrer que si a ?? b mod et c ?? d mod alors ac ?? bd mod b- En déduire que pour a et b entiers relatifs non nuls si a ?? b mod alors pour